¿Qué dice acerca de $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = 1$ $\lim\limits_{x \to \infty} f'(x)$?

Question

Dado que el $f$ es diferenciable, ¿qué $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = 1$ decir acerca de $\lim\limits_{x \to \infty} f^\prime(x)$ ? Intuitivamente creo que es $0$.

He intentado solucionar esto tratando de evaluar $$\lim_{x \to \infty} \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} $$ by trying to interchange the limits after showing that $\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ converges uniformly as $x \to \infty$. Pero yo no podía seguir adelante.

Tratando de trabajar hacia atrás, como un ejemplo específico, $f(x) = \arctan(x)$ vino a mi mente. Es derivado sin duda va a$0$$x \to \infty$. No este espectáculo que $\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ converge uniformemente a$0$$x \to \infty$ ?

Estoy totalmente confundido! Yo realmente apreciaría si alguien me dijo que lo estoy haciendo mal.

Answer 1

Esto es en respuesta a Balaji del comentario.

Lema. Deje $f\colon (a,+\infty)\to\mathbb{R}$ ser un delimitada $C^1$ función tal que $\lim_{x\to+\infty}f'(x)=\delta$ existe. A continuación,$\delta=0$.

Prueba. Vamos a proceder por la contradicción y asumir que $\delta\ne0$. Supongamos primero que $\delta>0$. Entonces existe $x_0>a$ tal que $f'(x)\ge\delta/2$ todos los $x\ge x_0$. Entonces $$ f(x)=f(x_0)+\int_{x_0}^xf'(t)dt\ge f(x_0)+\frac{\delta}{2}(x-x_0)\quad\forall x\ge x_0. $$ En particular, $f$ es ilimitado. El caso de $\delta<0$ se realiza de manera similar.

Si usted no desea utilizar las integrales, puede que la razón de la siguiente manera. Vamos $$g(x)=f(x)-f(x_0)-\frac{\delta}{2}(x-x_0).$$ A continuación, $g(x_0)=0$ $g'(x)\ge 0$ todos los $x>x_0$. De ello se desprende que $g$ es el aumento en el $(x_0,+\infty)$ $g(x)\ge 0$ todos los $x>x_0$.

Answer 2

Nada. se puede tomar algo como: $x\mapsto \frac{\sin(x^2)}{x}+1$.