Al parecer, hay una curiosa conexión entre Euler-Mascheroni constante $\gamma$ $e$ en la forma de una serie infinita y continua fracción:
$$e \gamma=e \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n!~n}-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{4-\cfrac{4}{6-\cfrac{9}{8-\cfrac{16}{10-\cdots}}}}}$$
Como puede verse, el parcial de los denominadores y numeradores tiene la forma $2n$ $-n^2$ respectivamente.
¿Cómo podemos demostrar esto? Podría ser un método útil para calcular los $\gamma$?
No importa, gracias a el comentario de J. M. he encontrado el origen de esta expresión.
La serie está conectado a la integral exponencial:
$$\text{Ei}(t)=-\int_{-t}^{\infty} \frac{e^{-p}}{p} dp=\gamma+\log |t|+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{n!n}$$
La continuación de la fracción que resulta ser un caso particular de la función Gamma incompleta:
$$\Gamma (0,t)=\int_t^{\infty} \frac{e^{-p}}{p} dp=\cfrac{\exp(-t)}{t+1-\cfrac{1}{t+3-\cfrac{4}{t+5-\cfrac{9}{t+7-\cdots}}}}$$
Así, obtenemos:
$$\text{Ei}(-1)+\Gamma (0,1)=0$$
$$\gamma-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n!n}+\cfrac{\exp(-1)}{2-\cfrac{1}{4-\cfrac{4}{6-\cfrac{9}{8-\cdots}}}}=0$$
Todavía no sé cómo las dos primeras expresiones de $\text{Ei}(t)$ $\Gamma (0,t)$ probado, pero voy a tratar de encontrar las referencias.
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