Repite anidada raíces

Question

Bastante hace algunos años, recuerdo que me preguntó lo siguiente:

Supongamos $\alpha = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots}}}$, lo $\alpha$.

La solución fue dada por el cuadrado de $\alpha$ y la solución de las derivadas de la ecuación de $\alpha^2-\alpha-2 = 0$, para dar a $\alpha=2$ bajo la suposición razonable de que $\alpha$ tiene que ser positiva.

En los años después de esto, me pasa la pregunta a los nuevos jóvenes y aspirantes matemáticos, sin dar mucho pensamiento. Recientemente, sin embargo, pasé algún tiempo pensando en ello de nuevo y se dio cuenta algunos peculiar cosas.

Si generalizamos esta pregunta para el caso de que $\alpha = \sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\ldots}}}$ algunos $a\in\mathbb{R}$, me preguntaba cómo sería su comportamiento. Todavía podemos plaza de esta ecuación para obtener la $\alpha^2-\alpha-a=0$ e lo $\alpha = \frac{1}{2}(1\pm\sqrt{4a+1})$. Aquí es donde las preguntas que surgen. Primera observación que la solución sólo tiene sentido para las $a\geq -\frac{1}{4}$, si queremos permanecer en $\mathbb{R}$.

Hemos visto antes que para $a=2$, la elección de las $\pm$$+$. Si tomamos $a=0$, queremos $\alpha$ $0$ así y por lo que la elección de repente cambia a $-$. Me pregunto si hay alguna intuitiva explicación de por qué la elección de la solución a la $\alpha$ pronto iba a cambiar en $a=0$. (para $a>0$ la raíz es $>1$, así que sin duda va a querer elegir a$+$$\pm$)

La otra cosa extraña que surge a partir de la solución de $\alpha$ es que si $a=-\frac{1}{4}$ encontraríamos $\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\ldots}}}=0$, que completamente me sorprende. ¿Cuál es el punto en el que me estoy perdiendo? Hay algo acerca de la convergencia de $\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\ldots}}}$ que causa problemas a los que yo hasta ahora no los ve?

(si usted considera que esta cuestión a ser mal etiquetados, por favor alterar el tas y eliminar esta entre corchetes declaración)

Answer 1

Creo que la resolución de estas extrañas observaciones es a través de recordar que el anidado radical es un límite: $\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\ldots}}} = \lim_{n\to\infty} b_n$ donde $b_1=\sqrt a$, $b_2=\sqrt{a+\sqrt a}$, $b_3=\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt a}}$, y así sucesivamente. Así:

• al $a=-1/4$ (de hecho, cuando se $a<0$), ningún elemento de la secuencia está bien definido, por lo que no tiene sentido asignar $\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\ldots}}}$ un valor.
• aunque cada uno de $b_1,b_2,b_3,\dots$ dependen continuamente sobre el parámetro de $a$, eso no es garantía de que $\lim_{n\to\infty} b_n$ debe depender continuamente a $a$. En efecto, he aquí un caso donde no. La causa relevante aquí es básicamente el hecho de que $\sqrt0=0$ pero $\sqrt\epsilon$ es mucho más grande de lo $\epsilon$ al $\epsilon$ es pequeña.

Answer 2

Aquí hay un par de comentarios sobre Lubin de la observación de que este problema puede ser pensado en el contexto de los sistemas dinámicos.

En primer lugar, como bien señala, no son esencialmente iterar la función $F_{\alpha}(x) = \sqrt{\alpha+x}$ a partir del punto $x=0$ o, dicho de otra manera, estamos iterando una rama de la inversa de $f_{a}(x) = x^2 - a$ a partir del punto $x_0=0$. En este contexto, básicamente estamos buscando un punto fijo de $f_{a}$. Nos gustaría que este punto fijo para ser repulsivo bajo iteración de $f_{a}$, por lo que es atractivo en virtud de la iteración de $F_{a}$.

Ahora desde el punto de vista de la dinámica, un extremadamente concepto es que un punto fijo $x_0$ de una función de $g$ será atractiva bajo iteración si y sólo si $|g'(x_0)|<1$. Será repulsiva al $|g'(x_0)|>1$. Si $|g'(x_0)|=1$, $x_0$ se llama neutro y una variedad de cosas pueden suceder.

Volviendo al caso específico de interés, supongamos por ahora que $a >0$, como el OP parecía estar interesado en secuencias de números reales. Hay un positivo punto fijo de $f_a$, es decir,$x_0 = (1+\sqrt{1+4a})/2$. Además, $f_{a}'(x_0) = 1+\sqrt{1+4a} > 1$$a>0$. Por lo tanto, este punto fijo es siempre repulsivo para $f_a$ y esperamos que la convergencia en virtud de la iteración de $F_a$.

Tan lejos como el conjunto Julia va, Lubin es correcto que la secuencia de lleno inversa imágenes converge a la Julia. Mientras que $F_{a}$ es solo una rama de la inversa, aún estaríamos esperar iteración de $F_{a}$ para generar una secuencia de puntos que converge a algún punto en el conjunto de Julia. Esto se ilustra en la animación de abajo. El origen es el punto verde y el límite fijo es el rojo. Los puntos azules representan la secuencia de la recorre de $F_a$ a partir de la verde y terminando en la red.

Answer 3

Esta pregunta se cae en el dominio de la dinámica, tal vez incluso algebraicas dinámica, y tiene sentido hablar de lo que sucede cuando los valores son números complejos.

Ahora, he apenas mojó el más pequeño de mis pequeños dedos de los pies en estas aguas, y me puede dar un paso por encima de mi cabeza antes de que yo estoy terminado aquí, así que espero que algunos especialistas pueden intervenir. Pongamos nombre a los miembros de su secuencia: \begin{align} s_1&=\sqrt a\\ s_2&=\sqrt{a+s_1}\\ s_3&=\sqrt{a+s_2}\,, \end{align} en otras palabras, $s_{i-1}=F(s_i)$ donde $F(z)=z^2-a$. Familiar de la mirada? En esta situación, no estamos preguntando acerca de la (ida) en la órbita del complejo de número de $0$ bajo $F$, como se hace en la definición del conjunto de Mandelbrot, pero el retroceso de la órbita, y en el $n$-ésima etapa, nos adecuadamente quieren verse no sólo en un único número $s_n$ tal que $F^{\circ n}(s_n)=0$, pero al completar la imagen inversa bajo $F^{\circ n}$ $0$. Normalmente habrá $2^n$ puntos en este conjunto $B_n=\{s\in\mathbb C\colon F^{\circ n}(s)=0\}$. Mi vago recuerdo es que cuando uno mira los conjuntos de $B_n$, se ven más y más como el conjunto de Julia de $F$, pero aquí tengo que aplazar a la gente que sabe de lo que está hablando.

Entonces, ¿qué? Bien, por lo menos, no debería sorprendernos que, al cambiar de $a$ un poco, consigue radicalmente diferente comportamiento. Eso es lo caótico comportamiento.