Todo el par de $m,n$ satisfacción $lcm(m,n)=600$

Question

Encontrar el número de pares de enteros positivos $(m,n)$,$m \le n$, de tal manera que el 'mínimo común múltiplo' (LCM) de $m$ $n$ es igual a $600$.

Mis intentos:

Es muy claro que $n\le600$, siempre.

El caso de al $n=600=2^3\cdot 3\cdot 5^2$, y deje $m=2^{k_1}\cdot 3^{k_2}\cdot 5^{k_3}$, de todos los posibles valores de $k_1=3+1=4,\ k_2=1+1=2,\ k_3=2+1=3$. Por lo que el número de $m$ que satisfacer a por encima de se $4\cdot 2 \cdot 3=24$

Me ayudan a analizar al $n<600$.

Answer 1

Olvidar la condición $m\leq n$ por el momento. Desde $600=2^3\cdot 3^1\cdot 5^2$ hemos $$m=2^{\alpha_2}3^{\alpha_3}5^{\alpha_5},\quad n=2^{\beta_2}3^{\beta_3}5^{\beta_5}$$ con $\alpha_i$, $\beta_i\geq0$ y $$\max\{\alpha_2,\beta_2\}=3,\quad \max\{\alpha_3,\beta_3\}=1,\quad \max\{\alpha_5,\beta_5\}=2\ .$$ De ello se sigue que $$\eqalign{(\alpha_2,\beta_2)&\en\{(0,3),(1,3),(2,3),(3,3),(3,2),(3,1),(3,0)\}\>,\cr (\alpha_3,\beta_3)&\en\{(0,1),(1,1),(1,0)\}\>,\cr (\alpha_5,\beta_5)&\en\{(0,2),(1,2),(2,2),(2,1),(2,0)\}\cr}$$ son admisibles, permitiendo $7\cdot3\cdot5=105$ combinaciones. Exactamente uno de ellos ha $m=n$, es decir,$m=n=600$, y en todos los demás $104$ casos $m\ne n$. Desde que desee $m\leq n$ tenemos que tirar la mitad de estos casos, dejando $52+1=53$ diferentes soluciones del problema.

Answer 2

El mínimo común múltiplo de dos números enteros, $a$$b$, se puede calcular mediante el siguiente procedimiento:

• Descomponer $a$ $b$ en factores primos;

• Para cada factor primo que está en $a$ pero no se en $b$, $lcm$ factorización con el exponente que tiene en $a$;

• Para cada factor primo que está en $b$ pero no se en $a$, $lcm$ factorización con el exponente que tiene en $b$;

• Para cada factor primo que es en $a$ y en $b$, $lcm$ pero con el mayor exponente de los dos.

Ejemplo:

$a = 2^2 \cdot 5 \cdot 101^3\\ b = 2^3 \cdot 7^4 \cdot 11$

$5$ $101$ aparecen en $a$, pero no en $b$, con lo que conseguimos $5 \cdot 101^3$.

$7$ $11$ aparecen en $b$, pero no en $a$, con lo que conseguimos $5 \cdot 101^3 \cdot 7^4 \cdot 11$.

Por último, tenemos las $2$ en ambos factorizations. Desde el mayor exponente es $3$, obtenemos $5 \cdot 101^3 \cdot 7^4 \cdot 11 \cdot 2^3 = 2^3 \cdot 5 \cdot 7^4 \cdot 11 \cdot 101^3$.

Por lo tanto, si tenemos $lcm(n, m) = 600$, entonces ninguno de los $n$ ni $m$ puede tener factores primos distintos de $2, 3$ o $5$. Lo que es más, ninguno de ellos puede tener $2$ a un poder más grande que $3$, $3$ para una mayor potencia de $1$ $5$ a un poder más grande que el $2$.

Podemos ver que debemos tener lo siguiente:

$n = 2^{a_1} \cdot 3^{a_2} \cdot 5^{a_3}\\ m = 2^{b_1} \cdot 3^{b_2} \cdot 5^{b_3}$

Pero también, debemos tener lo siguiente:

$$\begin{cases}\max\{a_1, b_1\} = 3\\ \max\{a_2, b_2\} = 1\\ \max\{a_3, b_3\} = 2\\ 0 \leq a_1,b_1 \leq 3\\ 0 \leq a_2, b_2 \leq 1\\ 0 \leq a_3, b_3 \leq 2\end{casos}$$

Por lo tanto, es una simple cuestión de contar. También tenga en cuenta que para cada posible factorización de $n$ si $n$ tiene uno de sus factores primos a un poder que no es el máximo es necesario, a continuación, $m$'s prime es determinado. Por ejemplo, si usted está contando las posibilidades de $m$ al $n = 2\cdot3\cdot5^2$, usted sabe de inmediato que $m$ $2^3$ en su factorización y por lo tanto $m = 2^3 \cdot 3^x \cdot 5^y$ $x$ $y$ variable.

EDIT:se incluyeron final de la computación:

Tenga en cuenta que si $n$ no tiene ningún tipo de $2^3, 3$$5^2$, $m$ se determina automáticamente. Para aquellos que tal $n$, usted puede elegir cualquier de $2^0, 2^1, 2^2$, entonces usted tiene que recoger $3^0$ y usted puede recoger $5^0$ o $5^1$. Por lo tanto, hay $3\cdot1\cdot2 = 6$ tales parejas donde $m$ debe ser $600$.

El resto de los casos son contados por la fijación de cuáles son los poderes $n$ ya tiene completa:

• $n$ sólo ha $2^3$. Hay $2$ formas para terminar (porque no tiene $3$ ni $5^2$. $m$ ha $4$ posibilidades para el exponente de $2$ y los demás ya están decididos. Por lo tanto, hay $2\cdot4 = 8$ pares.

• $n$ sólo ha $3$. Hay $3\cdot2$ formas de acabado. $m$ sólo puede tener $3^0$ o $3^1$ hay $6\cdot2 = 12$ de estas parejas.

• $n$ sólo ha $5^2$. Hay $3\cdot1$ formas de acabado. $m$ puede tener cualquiera de las $5^0$ o $5^1$ o $5^2$ hay $3\cdot2\cdot2 = 12$ de estas parejas.

• $n$ $2^3$ $3$ : da $2 \cdot 4 \cdot 2 = 16$ pares.

• $n$ $2^3$ $5^2$ : da $1 \cdot 4 \cdot 3 = 12$ pares.

• $n$ $3$ $5^2$ : da $3 \cdot 2 \cdot 3 = 18$ pares.

• $n$ ha $2^3$, $3$ y $5^2$: da $4 \cdot 2 \cdot 3 = 24$ pares.

Resumiendo, tenemos $24 + 18 + 12 + 16 + 12 + 12 + 8 + 6 = 108$ pares.

Answer 3

Como usted muy bien escrito, usted tiene la factorización $$600=2^3\cdot 3\cdot 5^2.$$ Ahora recuerdo que el mcm de dos números, dado su primer factorización, es el producto de sus factores primos a la máxima potencia. Por ejemplo $$lcm(2\cdot 3\cdot 5^7,2^2\cdot 5^6)=2^2\cdot3\cdot5^7$$

Así que usted tiene que encontrar todos los números posibles de la forma $2^p3^q5^r$, $p\leq 3,q\leq 1,r\leq 2\ $ de modo que al menos uno de ellos contiene $2^3$, $3^5$ y $5^2$ como factores.