¿Qué es una heurística de la prueba?

Question

Me pregunto ¿qué hace un heurístico prueba enfoque realmente significa. Sigo encontrando en los libros y los maestros. Llegué a la siguiente analogía:

Una heurística de la prueba de una prueba matemática es como pseudo-código para un algoritmo.

No es una técnica matemática pregunta, pero me gustaría saber. Gracias de antemano.

Answer 1

En primer lugar, me opongo a que el término "heurística de la prueba". Esa frase es una contradicción en los términos. Las heurísticas no (en términos generales) de prueba y pruebas generalmente requieren más detalles y matices de la heurística. Sería mejor utilizar la frase "heurística del argumento."

Con un poco de dedicación se trata, es a menudo (aunque no siempre), es útil mirar lo que lexicógrafos han determinado que la palabra significa. En este caso, el diccionario Merriam-Webster sugiere que una heurística es algo

relacionados, o servir como una ayuda para el aprendizaje, de descubrimiento, o la resolución de problemas experimentales y, especialmente, de prueba y error de los métodos.

Así las heurísticas de aprendizaje o de herramientas de solución de problemas. En matemáticas, la heurística son generalmente informales argumentos que tienen la intención de convencer a alguien de que un resultado es verdadero, sin la necesidad de entrar en el meollo de la cuestión de una prueba, que podría ser más involucrados. Por ejemplo, en los niveles de primaria clase de cálculo, usted verá a menudo un argumento a favor de la regla de la cadena que se ve algo como

La derivada de $f$ con respecto al $g$ se denota por a $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}g}$, y el derivado de la $g$ con respecto al $x$ se denota por a $\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}$. Así tenemos $$\requieren{cancel} \frac{\mathrm{d}f}{\cancelar{\mathrm{d}g}} \cdot \frac{\cancelar{\mathrm{d}g}}{\mathrm{d}x} =\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}. $$ Por lo tanto,$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (f\circ g)(x) = f'(g(x)) g'(x)$.

Este argumento es que no riguroso, y realmente no se puede hacer riguroso sin una gran cantidad de explicaciones (ya sea por medio de la no-estándar de análisis, o una muy cuidado $\varepsilon$-$\delta$ argumento). Sin embargo, la notación es sugerente, y el resultado es correcto, por lo que es una ayuda útil para el aprendizaje.

Otro ejemplo es el argumento heurístico para el Primer Número de Teorema, que (aproximadamente) establece que el número de números primos menos de $N$ está en el orden de $N/\log(N)$. Una prueba real de que el Primer Número es el Teorema de lugar, pero la siguiente heurística argumento es generalmente suficiente para convencer a alguien de que es cierto:

Supongamos que los números primos son uniformemente distribuidos al azar entre todos los enteros positivos. Deje $P(N)$ denotar la probabilidad de que $N$ es primo, donde $N$ es algún número suficientemente grande. Si $N$ es el primer y $M$ es mayor que $N$, $N$ divide $M$ con una probabilidad de $1/N$ (2 divide cada número, 3 divide cada tercer número, 5 divide cada número quinto, y así sucesivamente). En particular, si a es primo, entonces $N$ divide $N+1$ con una probabilidad de $1/N$. Por la Ley de la Probabilidad Total $$ P(N+1) = \underbrace{P(N)\left[P(N)\left( 1- \frac{1}{N}\right)\right]}_{(1)} + \underbrace{(1-P(N))P(N)}_{(2)}$$ donde (1) si $P(N)$ es primo, entonces (suponiendo independencia) $P(N+1)$ es primo con una probabilidad de $P(N+1) \approx P(N)$ también $N \nmid N+1$, lo cual ocurre con probabilidad de $1-\frac{1}{N}$, y (2) $N$ no es primo con una probabilidad de $1-P(N)$, pero para $N$ lo suficientemente grande, tanto en $N$ $N+1$ tienen aproximadamente la misma probabilidad de ser primer. Por lo tanto $P(N+1) \approx P(N)$. Por algunos básicos de álgebra $$ \frac{P(N+1)}{P(N)} = P(N) \left(1-\frac{1}{N}\right) + (1-P(N)) = 1 - \frac{P(N)}{N}.$$ Pero podemos aproximar $P(N+1)$ $P(N) + P'(N)$ ( $P(x+\Delta x) \approx P(x) + P'(x)$ ), por lo que este se convierte en $ A$ 1 + \frac{P'(N)}{P(N)} = 1 - \frac{P(N)}{N} \implica \frac{P'(N)}{P(N)} = - \frac{P(N)}{N}. $$ Este es un primer orden de la PDE con solución general $$ P(N) = \frac{1}{C + \log(N)}. $$ En otras palabras, la probabilidad de que un elegido al azar entero $N$ es primo es de aproximadamente $\frac{1}{\log(N)}$. Si $N$ es cualquier entero positivo, entonces hay $N$ enteros positivos menores o iguales a $N$, y así $$ (\text{number of primes up to $N$}) \approx N \cdot \frac{1}{\log(N)}. $$

Hay un montón de agujeros en este argumento (hay infinitamente muchos enteros positivos, sin embargo, hemos asumido que la probabilidad de que un número dado es primo es uniforme, lo cual es un problema; no hemos sido muy cuidadosos con los errores en una serie de aproximaciones; etc). En este caso, lulu comentario de una heurística argumento es "informal de un argumento que asume plausible (pero no probado) de los resultados" es bastante apt---hay un largo camino por recorrer antes de tener una prueba real.

De hecho, la costumbre de las pruebas del Primer Número Teorema de la no probabilística de las pruebas y atacar el problema a lo largo de otras líneas. Sin embargo, la mayoría de las auténticas pruebas son bastante técnica, y realmente no dan ninguna idea de por qué incluso podríamos sospechar que el Primer Número es el Teorema de verdad, en primer lugar. Esta heurística argumento debe convencernos de que el teorema puede ser cierto, y nos da la razón a la búsqueda de un mejor prueba.