La integración en la resolución de problemas

Question

Una integración es $$x-x_0 = \pm \int_{0}^{\phi(x)}\frac{d\Phi}{\sqrt\frac{\lambda}{2}(\Phi^2-\frac{m^2}{\lambda})} \tag{1}$$ El autor dijo que, la ecuación (2) puede ser escrita de la ecuación (1) por la inversión; $$\Phi(x)= \pm \left(\frac{m}{\sqrt\lambda }\right)\tanh\left[\left(\frac{m}{\sqrt2}\right)(x-x_0)\right] \tag{2} $$

Cómo resolver esta integración con facilidad?

Alguien puede ayudar?

Answer 1

Parcial de las fracciones: $$ \frac{d\Phi}{\Phi^2-\frac{m^2}{\lambda}} = \left(\frac{A}{\Phi-\frac{m}{\sqrt{\lambda}}}+\frac{B}{\Phi+\frac{m}{\sqrt{\lambda}}}\right)\,d\Phi. $$ El uso de algunos de álgebra de averiguar lo que los números de $A$$B$. Al integrar, se obtiene $$ Un\log_e\left(\Phi\frac{m}{\sqrt{\lambda}}\right) + B\log_e\left(\Phi+\frac{m}{\sqrt{\lambda}}\right). $$ A continuación, utilice las identidades con logaritmos para escribir como un solo logaritmo.

Answer 2

Sugerencia: Utilice

$$\int \frac{1}{a^2 -b^2} da = - \frac{\tanh^{-1}(a/b)}{b} + \text{constant}.$$