Pushforwards de la Línea de Paquetes y la Estabilidad

Question

Recientemente he terminado de leer este documento, y se preguntaba acerca de un par de cosas relacionadas con el teorema 1, que dice que para cualquier curva X hay una curva de y y f:Y->X tales que el pushforward es un dominante racional mapa de la Jacobiana de Y para los módulos de semistable vector haces en X (numéricos invariantes fijo para hacer las cosas más definida.) Así que tengo dos preguntas:

1) Dada una morfismos de curvas f:Y->X, hay una buena caracterización de la línea de paquetes de L en Y con f_*(L) semistable (o no semistable, de manera equivalente)?

2) Dada una morfismos de curvas f:Y->X, hay una buena caracterización de los cuales semistable paquetes en/no en la imagen de f_*?

Answer 1

Re: la primera pregunta.

Para semistability, necesitamos un homomorphism de una línea de paquete U -> X de un cierto grado a la pushdown de una línea de paquete de L, lo que es lo mismo que tener una sección en Y de f ^ * U ^ * \otimes L.

Esto puede ser expresado en términos de espacios especiales de los divisores, y usted puede encontrar los detalles trabajado de manera explícita para un ejemplo en el rango 2 (es decir, un holomorphic doble cubriendo f: Y -> X) en las páginas 103-105 de [NJH,87].

Answer 2

Un artículo posterior de Beauville (aquí, preprint de 2000) parece dirigirse a su primera pregunta, pero de manera más general mediante la toma directa de imágenes de vector de paquetes. Él hace la siguiente conjetura:

Si f: X-> X es un número finito de morfismos de suaves curvas proyectivas y E es un vector genérico paquete X', entonces f_*E es estable si g(X) \geq 2 y es semistable si g(x) = 1.

El problema es en realidad equivalente a la de un empujando hacia abajo una línea de paquete de L (a partir de una portada diferente).

En el papel, se muestra que la hipótesis se sostiene con algunas restricciones en L (por ejemplo, cuando \chi(X) es pequeña), aunque obviamente uno quiere que le permite tener más general. Se muestra, así, que la hipótesis se sostiene, según lo expresado anteriormente si f es una etale cubierta.

¿Esta ayuda?