dado los números reales positivos x,y cómo, para demostrar que se define como el máximo de x e y?

Question

Es cierto que dados los números reales positivos $x,y$, entonces tenemos que

$$ \sqrt{x^2 + y^2} \geq \max\{ x, y \} $$

No puedo encontrar un contra-ejemplo, aunque parece que es cierto... ¿Alguna observación?

Answer 1

Sabemos que

$${x^2} + \underbrace {{y^2}}_{ \ge 0} \ge {x^2}$$

$$\underbrace {{x^2}}_{ \ge 0} + {y^2} \ge {y^2}$$

Así, tomando la raíz cuadrada en ambos lados de cada expresión, obtenemos

$$\sqrt {{x^2} + {y^2}} \ge \left| x \right| \ge x$$

$$\sqrt {{x^2} + {y^2}} \ge \left| y \right| \ge y$$

Así

$$\sqrt {{x^2} + {y^2}} \ge \max \left\{ {x,y} \right\}.$$

Answer 2

Sí. Para ver esto, observe que $$\tag{1}\sqrt{x^2+y^2}\geq \sqrt{x^2}=x$$ desde $x$ es positivo. Del mismo modo, hemos $$\tag{2}\sqrt{x^2+y^2}\geq \sqrt{y^2}=y$$ desde $y$ es positivo. La combinación de $(1)$$(2)$, tenemos $$\sqrt{x^2+y^2}\geq\max\{x,y\}.$$