Prueba de que una convolución con$g(x)=\frac{1}{\pi} \frac{r}{r^2+x^2}$ es suave

Question

Es sabido que si $g_n: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $n=1,2,...$, es en $C_c^{\infty}(\mathbb{R})$, $ \int_\mathbb{R} g_n(x)dx=1$, $supp(g_n) \subset (-r_n,r_n)$,donde $0<r_n \rightarrow 0$, entonces para arbitrario localmente integrable $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la convolución $f*g_n$ es suave y ,si $f$ continuo, $f*g_n(x) \rightrightarrows f(x)$ sobre subconjuntos compactos de $\mathbb{R}$.

Vamos ahora $$g_n(x)=\frac{1}{\pi} \frac{r_n}{r_n^2+x^2},$$ $x\in \mathbb{R}$, $n \in \mathbb{N}$, where $0<r_n \rightarrow 0$. Cómo mostrar que para integrable $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la convolución $f*g_n$ es suave? (Es una parte del ejercicio 10 en el Capítulo 9 de W. Rudin del libro Real y el análisis complejo.)

También es cierto que si $f$ integrable y continuo, $f*g_n(x) \rightrightarrows f(x)$ sobre subconjuntos compactos de $\mathbb{R}$?

Gracias de antemano!

Answer 1

Otra forma de probar la suavidad es utilizar el teorema 9.8 [Rudin, Reales y complejos análisis]

Deje $h_\lambda(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{\lambda}{\lambda^2+x^2}$$\lambda>0, x\in \mathbb{R}$, y deje $H_\lambda(t)=e^{-\lambda |t|}$.

A continuación, $$H_\lambda (t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_\mathbb{R} h_\lambda(x) e^{-itx}dx $$ $$h_\lambda(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_\mathbb{R} H_\lambda (t) e^{itx} dt$$ ( the function $H_\lambda$ is the Fourier transform of $h_{\lambda}$, y la función
$h_{\lambda}$ es la inversa de la transformada de Fourier de $H_\lambda $).

Teorema. Vamos a una función de$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ser integrable. A continuación, $$(f*h_\lambda)(x)=\frac{1}{2\pi}\int_\mathbb{R} H_\lambda (t) {\cal F} (f)(t) e^{ixt} dt, $$ donde ${\cal F} (f)(t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_R f(x) e^{-itx} dx$ - es la transformada de Fourier de $f$.

(Este Teorema se sigue inmediatamente por el teorema de Fubini y el hecho de que $h_\lambda$ es la inversa de la transformada de Fourier de la función $H_\lambda $).

La función bajo integral en la fórmula de la convolución $f*h_\lambda$ es continua con respecto a $x,t$ y los derivados de la todos los pedidos con respecto a $x$, lo que (desde ${\cal F}(f)$ es limitado) están delimitadas por integrar las funciones de $t \mapsto C_k t^k e^{-\lambda |t|}$ donde$C_k$$k=0,1,2...$, son constantes. Por lo tanto $$(f*h_\lambda)^{(k)}(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_R H(\lambda t) {\cal F} (f)(t) (it)^k e^{ixt} dt$$ y, en consecuencia, la convolución es suave.

De la misma manera, teniendo en $h_\lambda(x)=\frac{1}{\lambda} e^{-\frac{x^2}{2\lambda^2}}$, e $H_\lambda(t)=e^{-\frac{\lambda^2 t^2}{2}}$, para $\lambda >0$, $x \in \mathbb{R}$, puede mostrar que $f* h_\lambda $ es suave.