¿Por qué estoy perdiendo soluciones al resolver desigualdades como$\frac{2y-3}{y}>0$ al multiplicar ambos lados por$y$?

Question

Por lo tanto, necesito resolver la siguiente Desigualdad

$$\frac{2y-3}{y}>0$$

Procedí de la siguiente manera-

$$2y-3>0\qquad \text{[Multiplying both sides by }y.]$$

$$y>\frac{3}{2}\qquad \text{[Adding 3 to both sides and and dividing by 2.]}$$

Así que mi solución es ($\frac{3}{2},\infty$)

Pero claramente, la desigualdad también es cierto siempre y tiene valor negativo. Por lo tanto, mi solución es un conjunto que debe ser en realidad: $(-\infty,0)\cup(\frac{3}{2},\infty)$.

Mi pregunta es - ¿Cuál es la forma correcta de resolver desigualdades con el fin de obtener todos los valores de la variable? Estoy en busca de una explicación simple(pre-universitario) si es posible.

Answer 1

[Multiplicando ambos lados por y.]

Aquí. Se multiplican ambos lados de una desigualdad por un número, pero se le olvidó a comprobar si ese número fue positiva (en cuyo caso la señal se mantiene ">") o negativo (en cuyo caso el signo se convierte en "<").

Si desea asegurarse de que usted tiene todas las soluciones, asegúrese de que no querer multiplicar o dividir por algo que puede ser no positivo, o cada vez que lo haga, que se dividió en dos de los casos ("Case 1: y > 0" y "Caso 2: y < 0").

Answer 2

Considere la siguiente desigualdad:

$$\frac{f(y)}{g(y)} > 0.$$

Supongamos que:

1. $f(y) > 0$ todos los $y \in F \subseteq \mathbb{R}$;
2. $g(y) > 0$ todos los $y \in G \subseteq \mathbb{R}$.

A partir de los conjuntos de $F$$G$, usted debe construir un tercer juego de la siguiente manera:

$$H = \{y \in \mathbb{R} : [f(y)>0 ~\text{and}~ g(y)>0]~\text{or}~[f(y)<0 ~\text{and}~ g(y)<0]\}.$$

Esto significa que $y \in H$ si uno de los siguientes es verdadera:

1. $y \in F$ $y \in G$;
2. $y \not\in F$ $y \not\in G$.

Para el caso particular:

$$\frac{2y-3}{y}> 0.$$

$$f(y) = 2y-3>0 \Rightarrow F = \left\{y > \frac{3}{2}\right\}.$$ $$g(y) = y>0 \Rightarrow G = \left\{y > 0\right\}.$$

Entonces:

1. Si $y>\frac{3}{2}$,$y \in F$$y \in G$. Por lo tanto, $y \in H$.
2. Si $y < 0$,$y \not\in F$$y \not\in G$. Por lo tanto, $y \in H$.

Finalmente, el conjunto H es:

$$H = \left\{y > \frac{3}{2} \vee y < 0\right\}.$$

Answer 3

Si$y<0$ (claramente válido), cuando multiplicas ambos lados por$y$, la desigualdad se invierte; sin embargo, te limitas a un solo caso de posibles resultados.

Un truco para deshacerse de esto, es multiplicar ambos lados por$y^2$, lo que se garantiza positivo:$$y(2y-3)>0\implies y<0\quad\text{or}\quad y>3/2$ $

Answer 4

La forma correcta de hacerlo es.

Caso 1: $y > 0$. entonces y $2y - 3 > 0$.

Caso 2:$y > 0$. Esto es imposible.

Caso 3:$y = 0$ y$y < 0$ y$2y - 3 < 0$.

En el caso 1:$y < 0$ así

$2y -3 > 0$

$2y > 3$ y entonces $y > \frac 32$

O

Caso 3:$y > 0$ para

$y> \frac 32 > 0$

$2y - 3< 0$ y$2y < 3$. Asi que $y < \frac 32$.

Entonces, ya sea$y < 0$ O $y < 0 < \frac 32$.