Supongamos que$P$ es un politopo euclidiano convexo, donde el origen no está contenido en ningún hiperplano de límite que contenga una faceta de$P$, con$n$ facetas dadas por$\langle f_i , x\rangle = 1$ y$m$ vértices$v_j$ con$1\leq i\leq n$ y$1\leq j\leq m$. (Es decir, cada ecuación de faceta se ha multiplicado según sea necesario para obtener$1$ en el lado derecho). ¿Es cierto que el politopo$P'$ con$m$ facetas dado por$\langle v_j , x\rangle = 1$ y$n$ vértices$f_i$ es combinatoriamente equivalente al doble polar$P^*$ de$P$?
Respuesta
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Sí. Su polytope $P'$ es exactamente la polar $P^*$ $P$ con respecto a la unidad estándar de la esfera. La elección de otro cónica en lugar de la unidad de la esfera, en general, dar otro polar. Ver este wikpedia página para el caso bidimensional de polaridad con respecto a otras cónicas. Así que su "Cartesiano" dual corresponde a la unidad de la esfera.
Polaridad/dualidad de polytopes o, más en general, de los cuerpos convexos, se trata en muchos libros sobre la convexidad. Por desgracia, muchos de ellos salen un montón de detalles para el lector. Recomiendo Webster Convexidad, de Brønsted es Una Introducción a Convexa Polytopes o Matousek de Conferencias sobre la Geometría Discreta.
