Cómo probar que$\mathbb{R}$ no es un artista, considerado como un módulo$\mathbb{Q}$ -

Question

¿Cómo puedo probar que el conjunto$\mathbb{R}$ de los números reales como un módulo$\mathbb{Q}$ - no es artístico?

He intentado probarlo, por los irracionales, pero no pude probarlo.

Answer 1

Si usted está pensando en cosas como el irrationals entonces usted puede perder el bosque por los árboles. Le sugiero que tome un paso atrás y tratar de demostrar el siguiente resultado.

Deje $K$ ser un campo y dejar a $V$ $K$- módulo -- es decir, un $K$-espacio vectorial. Los siguientes son equivalentes:
(i) $V$ es finitely generados (en otras palabras, finito-dimensional)$K$.
(ii) $V$ es Noetherian.
(iii) $V$ es Artinian.
(iv) $V$ admite una composición de la serie, es decir, un máximo de la cadena de submódulos $0 = V_0 \subsetneq V_1 \subsetneq \ldots \subsetneq V_n = V$.

Tenga en cuenta también que el hecho de que estos equivalente condiciones no son satisfechas por $\mathbb{R}$ $\mathbb{Q}$- espacio vectorial se deduce del hecho de que $\mathbb{R}$ es un uncountably conjunto infinito.

Comentario Final: más generalmente, de un anillo de $R$, por encima de las condiciones de izquierda se $R$-módulo son equivalentes iff $R$ Artinian.

Answer 2

Sugerencia: la dimensión de$\Bbb R$ sobre$\Bbb Q$ es infinita, por lo que puede encontrar que algunas secuencias$\langle r_i\mid i\in\Bbb N\rangle$ sean linealmente independientes sobre$\Bbb Q$, use esta secuencia para generar una secuencia de módulos decrecientes sin un mínimo.