$100th$ dígito después del punto decimal en $\sqrt 2$

Question

Quiero encontrar el $100th$ dígito después del decimal en $\sqrt 2$ .

$\sqrt 2 = 1.41421356237...$

por ejemplo $7th$ dígito después del decimal es $5$ . ¿Existe algún método general para estos problemas? Pensé que podría utilizar la representación de los números reales como una secuencia de Cauchy, pero no pude seguir adelante.

Gracias de antemano.

Answer 1

Sí, existe un método general para este problema; básicamente, hay una forma de modificar el algoritmo de la "división larga" para que te dé raíces cuadradas en lugar de cocientes. Una explicación detallada y un ejemplo trabajado se pueden encontrar aquí:

https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/squareRoot.html

Una técnica alternativa: supongamos que queremos los primeros dígitos de la raíz cuadrada de dos. Tomemos el entero 2000000000000. (Obsérvese que debe haber un número par de ceros.) Hay algún número entero n tal que, al ser elevado al cuadrado, es menor que 2000000000000, y (n+1) al cuadrado es mayor. Puedes encontrar ese entero mediante búsqueda binaria en unas 40 conjeturas; los dígitos que n y n+1 tienen en común son definitivamente los dígitos de la raíz cuadrada de dos.

Answer 2

Este podría serle de ayuda en su búsqueda. Buena suerte.

Answer 3

Cada CAS puede hacer esto

$$1.4142135623730950488016887242096980785696718\\75376948073176679737990732478462107038850387534327641573$$