¿Qué cohomología de operaciones geométricas tipo de "escala"?

Question

Hay una operación obvia en la categoría de anillos graduados, dado por "escalar," multiplicando la calificación de cada elemento por alguna constante fijo.

¿Alguien sabe de una operación en el nivel de los espacios que hará a los anillos de cohomología?

Answer 1

¿Cambiamos la pregunta a esto: ¿para qué tipo de espacios X hay una familia de continuo mapas ψ^k: X->X que actúan sobre cohomology por "escalar"? Aquí es un famoso y desconcertante ejemplo de algo parecido a esto:

Como se puede leer en las notas de Sullivan, de 1970, del MIT curso (ver esp. el capítulo 5), si usted tiene una variedad algebraica X, definida sobre Q(racionales), entonces se obtiene una acción de G (absoluto=grupo de Galois de P) en un espacio X_et=el etale homotopy tipo de X.

Si X es un Grassmanian variedad, a continuación,

* X_et tiene la homotopy tipo de la costumbre complejo Grassmannian (hasta un "profinite de finalización"),

* G actúa sobre el profinite cohomology de X_et a través de su abelianization G_ab=Z^*(=las unidades de la profinite enteros),

* esta acción de G_ab en cohomology es por la escala.

Yo no sé cuál es la motivación de la pregunta original es, así que no sé si este tipo de cosa no tiene ninguna relación con lo que usted desea. He publicado esto para anunciar el Sullivan notas, que todo el mundo debería leer.)

Answer 2

Incluso si usted no pide para la estructura de anillo que se conserva, esto parece bastante improbable, al menos en caso de requerir el functor a hacer lo mismo "escalar" operación de mapas en cohomology inducida por los mapas de los espacios. Creo que todos los Goodwillie derivados de un functor sería cero, mientras que "geométrica", operaciones que suelen tener algunos no trivial de radio de analiticidad.

Edit: Para el argumento de que estaba pensando, tengo que asumir que π₁(F(cualquier suficientemente altamente conectados espacio)) = 0, de manera que, por ejemplo, F(•) = •.

Answer 3

No hay uno. La operación de escalado que usted describe (que tendría que ser un extraño factor de escala, por cierto) no conmuta con la suspensión. Cohomology es una "suspensión" preservan el functor (probablemente hay alguna forma elegante de decir que esta utilizando categorías trianguladas) así que cuando se considera un cohomology la teoría de que realmente debe pensar en el destino como "calificada álgebras sobre el coeficiente de anillo con una suspensión de la operación" sólo que no es tan ágil como "gradual de los anillos" por lo que tienden a ser un poco descuidado decirlo.

Edit: Esta respuesta fue un poco de "usar y tirar" respuesta ya que la pregunta se sentía como ociosa especulación (estoy un poco avergonzado de que ella tiene tantos votos!). Con un poco más pensé he concentrado en el hecho de que la categoría de destino no es gradual, anillos, o incluso álgebras graduadas, o incluso gradual álgebras con la suspensión, pero no la acción de la cohomology operaciones a tener en cuenta. Simplemente la recalificación todo va completamente en desorden esas acciones. Las suspensiones se vienen en el juego, sin embargo, cuando uno considera los mapas entre los espacios y yo sospecho que se podría mostrar que todos estos mapas fueron nulos homóloga.

Me gusta Tyler respuesta mejor. Voy a votar para que uno, y yo lo recomiendo de ser aceptado como respuesta.

Answer 4

No hay ninguna operación de este tipo. Aquí está una de las razones por qué.

Tome su espacio para ser CP². Su cohomology anillo es un truncado polinomio álgebra ℤ[x]/(x³), donde x es un elemento de grado 2.

Supongamos que tenemos un cambio de functor S en los espacios que se multiplica cohomology grados por n. Entonces S(CP²) habría mod-2 cohomology anillo de un truncado polinomio álgebra ℤ/2[y]/(y^3) en un generador y en el grado 2n.

Esto viola el invariante de Hopf 1 conjetura, demostrado por Adams. No hay espacios cuya cohomology es un trunca polinomio anillo ℤ/2[y]/(y^3) en un generador de grado k menos k es 1 (verdadero proyectiva 2-espacio), 2 (complejo proyectiva 2-espacio), 4 (quaternionic proyectiva 2-espacio) o 8 (algo asociado a la octonions que me siento incómodo que describe como proyectiva del espacio).

Si n no es 2 o 4, obtendrá inmediatamente una contradicción aquí. Si n es 2 o 4, puede solicitar a su operador de desplazamiento varias veces y obtener una contradicción.

Answer 5

Para llegar desde espacios con diferentes anillos de ir a través de la dirección general de los anillos. Es decir,

Espacios → dg-Anillos → gradual de los Anillos.

donde la primera flecha es el functor de tomar simplicial cochains, y el segundo es el functor de tomar cohomology. Por lo que cualquier "ampliación" de los espacios que debe de existir en la dirección general de los Anillos. Pero ¿cómo se puede aumentar la escala de un cochain complejo? No se puede, ya que podría romper el grado de la codifferential.

Así que no creo que hay una sensible "ampliación" de los espacios.

Buena idea, aunque, no sé cómo se podría clasificar functors que actúan sobre gradual de los anillos que pueden ser elevados a los espacios. Un ejemplo claro podría ser el de la configuración de todos los grupos de grado mayor que yo digo a 0. Que correspondería a llenar de cosas en el espacio a matar a los cohomology grupos (no conozco la terminología correcta en la parte superior de mi cabeza).