Área del triángulo en$\mathbb R^3$ dadas$3$ coordenadas

Question

Sé que si tenemos $3$ puntos $a$, $b$,e $c$ en $\mathbb R^3$, el área del triángulo está dada por: $\frac{1}{2}\|\vec{ab}\times \vec{ac}\|$.

Esto significa que el área del triángulo es igual a la mitad de la longitud de la normal del plano en el que el triángulo pone.

Yo no entiendo muy bien cómo puede ser esto. Qué otra interpretación geométrica puede ser de $\frac{1}{2}\|\vec{ab}\times \vec{ac}\|$?

Answer 1

La interpretación geométrica de la magnitud de la cruz del producto $\left\|\vec v \times \vec w\right\|$ es el área de la parallellogram generado por los vectores $\vec v$ e $\vec w$ y el triángulo con vértices $\vec o$, $\vec v$ e $\vec w$ es exactamente la mitad de los que parallellogram, por lo que su área está dada por $\tfrac{1}{2}\left\|\vec v \times \vec w\right\|$.

Esta interpretación puede ser evidente a partir de la definición (dependiendo de cómo se define el producto cruzado), o se deduce de la fórmula $\left\|\vec v \times \vec w\right\|=\left\|v\right\|\left\|v\right\|\sin\theta$ ("base por altura") donde $\theta$ es el ángulo entre el $\vec v$ e $\vec w$.

Answer 2

Cada triángulo puede ser completamente especificado por dos vectores que comparten un vértice común. Esto es debido a que el tercer lado se encuentra por el vector resta de los otros dos lados. El triángulo generado por los dos vectores es la zona que estamos buscando. Por mirrorflipping los dos lados de todo el vector de la resta de los dos lados de crear un paralelogramo. Usted puede ver por la simetría que el área del paralelogramo es el doble del área del triángulo. En coordenadas cartesianas el área de un paralelogramo generado por dos vectores con un vértice común es $|ab \times ac|$. Por lo tanto el área del triángulo es $\frac{1}{2}|ab \times ac|$.