Es divisible por .

Question

Probar que si n es un entero positivo, entonces $ \ \large 3^{2^n }- 1 $ es divisible por $ \ \large 2^{n+2} $ .

Respuesta:

Para $ n=1 \ $ hemos

$ \large 3^{2^1}-1=9-1=8 \ \ an d \ \ 2^{1+2}=8 $

Así que la declaración de retener para n=1.

Para $ n=2 $ hemos

$ \large 3^{2^2}-1=81-1=80 \ \ and \ \ 2^{2+2}=16 \ $

$Also \ \ \ 16 /80 $ .

Así, la declaración de retener para $ n=2 $ también.

Deje que la declaración de mantener para $ n=m \ $

A continuación, $ a_m=3^{2^m}-1 \ \ is \ \ divisible \ \ by \ \ b_m=2^{m+2} \ $

Tenemos que mostrar que $ b_{m+1}=2^{m+3} \ $ brecha $ \ \large a_{m+1}=3^{2^{m+1}}-1 \ $

Pero aquí soy incapaz de resolver . Si hay alguna ayuda para hacer esto ?

Más que cualquier otro método es aplicable también.

Answer 1

Podemos escribir,$$(3)^{2^n}-1$ $$$(4-1)^{2^n}-1$ $ Usando binomial,

$$=\color{red}{\binom{2^n}{0}}-\color{blue}{\binom{2^n}{1}4}+\color{green}{\binom{2^n}{2}4^2}-\cdots-\color{orange}{\binom{2^n}{2^n-1} 4^{2^n-1}}+\color{purple}{\binom{2^n}{2^n}4^{2^n}}-\color{red}{1}$ $$$$ $

PS

$$\binom{n}{r}=n (r+1) \binom{n-1}{r+1}$ $$$-\color{blue}{ 2^n 2 \binom{2^n-1}{2}4}+\color{green}{2^n 3\binom{2^n-1}{3}4^2}-\cdots+\color{magenta}{2^n (2^n-1) \binom{2^n-1}{2^n-1}4^{2^n-2}} -\color{orange}{2^n 4^{2^n-1}} +\color{purple}{4^{2^n}}$ $$$$ $$$- \color{red}{2^{n+2}}(-\color{blue}{2\binom{2^n-1}{2}}+\color{green}{3\binom{2^n-1}{3}4}-\cdots+\color{magenta}{(2^n-1)\binom{2^n-1}{2^n-1}4})-\color{orange}{2^n4^{2^n-1}}+\color{purple}{4^{2^n}}$ $$$$ $$$\color{red}{2^{n+2}}(-\color{grey}{\binom{2^n-1}{1}}+\color{blue}{2\binom{2^n-1}{2}}-\color{green}{3\binom{2^n-1}{3}4}-\cdots-\color\magenta{(2^n-1)\binom{2^n-1}{2^n-1}4^{2^n-2}}-\color{grey}{2^n +1})-\color{orange}{2^n4^{2^n-1}}+\color{purple}{4^{2^n}}$ $$$$ $

(f (x) es$$\color{red}{2^{n+2}}(f'(4)-\color{grey}{2^n+1})-\color{orange}{2^n4^{2^n-1}}+\color{purple}{4^{2^n}}$)$=(x-1)^{2^n-1}$ $ Por lo tanto,$$$ $

PS

$$f'(4)=(2^n-1)3^{2^n-2}$ $$$\color{red}{2^{n+2}}((2^n-1)3^{2^n-2}+\color{grey}{2^n+1}-\color{orange}{4^{2^n-3}}+\color{purple}{2^{2^n}2^{2^n-n-2}})$ $$$$ $

Por lo tanto.......

O

$$\color{red}{2^{n+2}}C$ $$$$ $$$3^{2^{m+1}}-1$ $$$3^{2^m×2}-1$ $

$$(3^{2^m}-1)(3^{2m}+1)$$$k×2^{m+2} ×(3^{2^m}-1+2)$ 2 ^ {m +2} × k × 2 × (k2 ^ {m +1} +1)$$2^{m+2} ×k× (k2^{m+2}+2)$$$$ $

Answer 2

Podría aplicar [Levantar el lema del exponente] [1]

[1]: https://brilliant.org/wiki/lifting-the-exponent/ para el caso$p=2$ y obtenga$v_2(3^{2^n} - 1) = v_2(3-1)+v_2(2^n)+v_2(3+1)-1 = n+2$

Answer 3

$$\begin{array}{} &3^{2^m} -1 &=x 2^{m+2} & \text{assumed and checked by } m=1 \text{with $x$ impar}\\ Y 3^{2^{m+1}} -1 &= 3^{2 \cdot 2^m} -1 & \text{general paso en la inducción} \\ & &= (3^{2^m})^2 -1\\ & &= (3^{2^m} -1)(3^{2^m} +1) \\ & &=x 2^{m+2}(3^{2^m} +1) & \text{ con $x$ impar }\\ & &=x 2^{m+2}(3 \cdot 3^{2^m-1} +1) \\ & &=x 2^{m+2}(2 \cdot 3^{2^m-1}+ (3^{2^m-1}+1)) \\ & &=x 2^{m+2}(2 \cdot 3^{2^m-1}+ (3+1) \cdot y) & \text{por $3^{2w+1}+1$}=(3+1)\cdot y\\ & &=x 2^{m+2}2 \cdot (3^{2^m-1}+ 2 y) &\text{al excluir }2\\ & &=x 2^{m+3} z &\text{con $x$ $z$ impar}\\ \end{array}$$ $$\begin{array}{l}\implies 2^{m+3} \mid 3^{2^{m+1}}-1 & \phantom {\text{yxcyxcyyxcyxcycyxcyc}}& \text{induction successful, proof complete} \end{array}$$

Answer 4

La función Carmichael $\lambda(2^{n+2})=2^n$ para$n$% positivo. Por lo tanto, para cualquier número impar$k$,$k^{2^n}\equiv 1 \bmod 2^{n+2}$ y, por lo tanto,$2^{n+2}$ divide$k^{2^n}- 1$.