De las funciones de la lista, los dos se $q$de la serie, uno es un Eisenstein serie
y la otra es la función de eta. Una estrategia general en la forma de un
proceso informático para probar o refutar la modularidad de tal generalidad
no existe. El tema es, simplemente, demasiado rica y elaborada para ser susceptibles de
a un canónica de la línea de ataque. Sin embargo, la utilidad de los principios de existir, a lo largo de
con una fascinante teoría que subyace a las identidades utiliza para probar la
la modularidad de al menos el $q$de la serie se presentan.
¿Qué sabemos acerca de las formas modulares para un determinado
$\Gamma<\textrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ y una altura determinada? Primero de todos,
son finito-dimensional espacios vectoriales. Hemos explícita generadores, tales como
Eisenstein serie, theta serie, etc. cuya
la modularidad se ha demostrado por métodos (que voy a mencionar a continuación) interesante en
su propio derecho y generalizable. Tenemos operadores en estos espacios que
son diagonalized por nice bases tales como Hecke funciones propias. Ver
http://maths.dur.ac.uk/~dma0hg/ModForms.pdf para una buena introducción gratuita. El punto es que los espacios de las formas modulares tienen una muy rica y compleja
la estructura y la pertenencia a ese club de elite no debe tomarse nunca a
a la ligera.
Permítanme comenzar con un par de métodos básicos para mostrar la modularidad, que conducen a un
suite de estructural de las declaraciones relacionadas con la modularidad de la serie.
El método más básico para demostrar la modularidad de una función es el
se exhibió como una suma de los representantes de $\Gamma$ en el primer lugar. Entonces
una aplicación de una acción de $\Gamma$ simplemente permutar la suma y
esperemos que alterar los sumandos por un factor de automorphy, como en el caso de
Eisenstein de la serie; por supuesto que no hacer: tenemos que demostrar la analítica
las condiciones que intervienen en la modularidad, que son muy crucial y no trivial. Afortunadamente, si podemos probar estas condiciones durante un par de funciones y, a continuación,
muestran que los más complicados son funcionalmente relacionado con los de un buen maneras, el crecimiento
las condiciones serán mucho más fáciles de establecer.
Si una función se presenta como una serie de Fourier sobre $\mathbb{Z}$ (por lo que al menos
sé que es invariante bajo $z\to z+1$), un método uniforme para detectar la modularidad
es el (no necesariamente sencillo!) aplicación de la distribución de Poisson
suma de la fórmula. Esta es una de las formas
para demostrar la modularidad de la theta de la función, por ejemplo. Aunque esta herramienta
puede parecer un tanto ad hoc, no lo es: la distribución de Poisson suma fórmula (y su
gran adelic hermano, sobre la que se puede leer en cualquier exposición de la Tate
tesis) es una instancia de una traza de la fórmula, altamente estructurales de la declaración de
la vinculación de la geometría de las órbitas de un grupo como $\Gamma$ que actúa sobre un espacio adecuado
y ciertas expresiones algebraicas de una recubre algebraica de grupo (por ejemplo
como $\textrm{SL}(2,\mathbb{R})$). Esta es también la primera indicación de que ciertos
los aspectos de la Mentira de los grupos puede tener algo que ver con el concepto de modularidad.
Una vez que hemos probado la modularidad, directamente, por sumación de Poisson u otros
Fourier/complejo de los métodos analíticos de algunas de las funciones básicas, el siguiente paso es
a ver si podemos escribir nuestras funciones "en condiciones" de los anteriores. Lo 'en
los términos' significa que puede variar enormemente de una función a otra; por ejemplo,
aunque el $M_k$ son finito dimensionales, es desesperante esperar un barato
la prueba de que algunos de la serie es modular por mostrarla como una combinación lineal de
algunos de Eisenstein de la serie (por lo general va al revés: nos muestran un
la función es modular y, a continuación, estamos abiertas a los resultados como
finito-dimensionalidad nos da todo tipo de imposible-aparente ecuaciones para
el aritméticamente significativos los coeficientes de Fourier de cada lado).
Una noción de 'en términos de' que es directamente relevante a las funciones que tiene
es a través de ecuaciones diferenciales (de hipergeométrica tipo, por ejemplo), que conduce a la relación
entre los diversos $q$de la serie y (modificado), theta funciones permite a probar
la modularidad de la antigua a través de este último. Este es un tema difícil, la combinación de
primaria técnicas combinatorias ilustrado, por ejemplo, en
http://www.math.uiuc.edu/~berndt/artículos/q.pdf y el método que usted puede encontrar
en
http://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/doi/10.1007/978-3-540-74119-0_1/fulltext.pdf en la sección 5.4. Hay libros enteros (por ejemplo, la encuesta
Parititions, q-series y las formas modulares) relevantes para estos
técnicas, pero son pesadas y no lo recomiendo en esta etapa.
En las técnicas anteriores, el uso excesivo que se hace de ciertos funcional
las ecuaciones que involucran series, productos, continuó
fracciones, integrales representaciones y más. Estas ecuaciones funcionales
a veces da la modularidad de inmediato o asumir un papel crucial en la
proceso. Los ejemplos incluyen la Jacobi triple identidad del producto, la
Rogers-Ramanujan identidades (que inmediatamente modularidad para algunos $q$
de la serie) y la más clásica de las identidades de esa forma.
Resulta que muchos de estos funcional ecuaciones tienen en común
origen: la teoría de la representación de semisimple álgebras de Lie y relacionados
algebraica de los objetos (tales como el vértice de las álgebras de operadores, Kac-moody álgebras de
etc.) y, en particular, las fórmulas para los personajes de tales representaciones
en términos de la combinatoria de datos. Si no hay una unificación de
principio de que los enlaces de la modularidad de la serie de la forma de su presente arriba,
esto es. Para ilustrar este principio unificador, usted debe leer sobre el Macdonald identidades, por ejemplo, en
http://en.wikipedia.org/wiki/Macdonald_identities.
Un buen libro para leer en el vínculo entre la modularidad y la teoría de la representación
de manera casual es un libro que me estoy leyendo actualmente mí mismo llamó a la luz de la Luna
más allá del Monstruo. Cubre muchos (demasiados) temas, y aunque puede ser
vaga y algo imprecisa, transmite las ideas generales con buena prosa y incluye
suficientemente numerosas referencias a la autorizada de material. Además de la modularidad
afines y de álgebra interpretaciones secciones se encuentran entre los más bien escritos en el libro.
