¡Concurso de longitud de arco! Minimiza la longitud de arco de $f(x)$ cuando se dan tres condiciones.

Question

Concurso: Dé un ejemplo de una función continua $f$ que satisface tres condiciones:

1. $f(x) \geq 0$ en el intervalo $0\leq x\leq 1$ ;
2. $f(0)=0$ y $f(1)=0$ ;
3. el área delimitada por el gráfico de $f$ y el $x$ -eje entre $x=0$ y $x=1$ es igual a $1$ .

Calcula la longitud del arco, $L$ para la función $f$ . El objetivo es minimizar $L$ dadas las tres condiciones anteriores.

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$\mathbf{\color{red}{\text{Contest results:}}}$ $$ \begin{array}{c|ll} \hline \text{Rank} & \text{User} & {} & {} & \text{Arc length} \\ \hline \text{1} & \text{robjohn $\blacklozenge$} & {} & {} & 2.78540 \\ \text{2} & \text{Glen O} & {} & {} & 2.78567 \\ \text{3} & \text{mickep} & {} & {} & 2.81108 \\ \text{4} & \text{mstrkrft} & {} & {} & 2.91946 \\ \text{5} & \text{MathNoob} & {} & {} & 3.00000 \\\hline \text{-} & \text{xanthousphoenix} & {} & {} & 2.78540 \\ \text{-} & \text{Narasimham} & {} & {} & 2.78 \\ \end{array}$$

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Pregunta original después de la declaración del concurso: La pregunta del concurso está inspirada en este papel. ¿Puede alguien proponer una entrada diferente a las que figuran en la tabla siguiente?

$$ \begin{array}{c|ll} \hline \text{Rank} & \text{Function} & {} & {} & \text{Arc length} \\ \hline \text{1} & 1.10278[\sin(\pi x)]^{0.153764} & {} & {} & 2.78946 \\ \text{2} & (8/\pi)\sqrt{x-x^2} & {} & {} & 2.91902 \\ \text{3} & 1.716209468\sqrt{x}\,\mathrm{arccos}(x) & {} & {} & 2.91913 \\ \text{4} & (8/\pi)x\,\mathrm{arccos}(x) & {} & {} & 3.15180 \\ \text{5} & (15/4)x\sqrt{1-x} & {} & {} & 3.17617 \\ \text{6} & -4x\ln x & {} & {} & 3.21360 \\ \text{7} & 10x(1-\sqrt{x}) & {} & {} & 3.22108 \\ \text{8} & -6x^2+6x & {} & {} & 3.24903 \\ \text{9} & 9.1440276(2^x-x^2-1) & {} & {} & 3.25382 \\ \text{10} & (-12/5)(x^3+x^2-2x) & {} & {} & 3.27402 \\ \end{array}$$

Answer 1

Encontrar la forma de la gráfica

Queremos minimizar $$ \int_0^1\sqrt{f'(x)^2+1}\,\mathrm{d}x\tag{1} $$ mientras se mantiene $$ \int_0^1f(x)\,\mathrm{d}x=1\tag{2} $$ Esto significa que deseamos encontrar un $f$ para que la variación de la longitud sea $0$ $$ \int_0^1\frac{f'(x)\,\delta f'(x)}{\sqrt{f'(x)^2+1}}\,\mathrm{d}x=0\tag{3} $$ que, tras la integración por partes, observando que $\delta f(0)=\delta f(1)=0$ se convierte en $$ \int_0^1\frac{f''(x)\,\delta f(x)}{\sqrt{f'(x)^2+1}^{\,3}}\,\mathrm{d}x=0\tag{4} $$ para todas las variaciones de $f$ , $\delta f$ para que la variación del área sea $0$ $$ \int_0^11\,\delta f(x)\,\mathrm{d}x=0\tag{5} $$ Esto significa que $\frac{f''(x)}{\sqrt{f'(x)^2+1}^{\,3}}$ es perpendicular a todos los $\delta f$ que $1$ es. Esto es así sólo cuando hay una $\lambda$ para que $$ \frac{f''(x)}{\sqrt{f'(x)^2+1}^{\,3}}=\lambda\tag{6} $$ Sin embargo, $(6)$ sólo dice que la curvatura de la gráfica de $f$ es $\lambda$ . Es decir, el gráfico de $f$ es un arco de círculo.

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Encontrar la longitud del arco

Como la longitud de la cuerda del círculo que queremos es $1$ tenemos $$ 2r\sin\left(\frac\theta2\right)=1\tag{7} $$ Como el área cortada por esta cuerda es $1$ tenemos $$ r^2\left[\frac\theta2-\sin\left(\frac\theta2\right)\cos\left(\frac\theta2\right)\right]=1\tag{8} $$ Cuadrado $(7)$ para conseguir $$ 2r^2(1-\cos(\theta))=1\tag{9} $$ y reescribir $(8)$ para conseguir $$ \frac12r^2(\theta-\sin(\theta))=1\tag{10} $$ Resolver $4(1-\cos(\theta))=\theta-\sin(\theta)$ para conseguir $$ \theta=4.3760724130128873845\tag{11} $$ y luego $(7)$ da $$ r=0.61313651252231835636\tag{12} $$ Esto llevaría a una longitud mínima de $$ L=r\theta=2.6831297778598481320\tag{13} $$

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Problema

Lamentablemente, ya que $\theta\gt\pi$ la curva de minimización es un arco que no puede ser representado por una función.

La curva de minimización más cercana a la gráfica de una función es la curva que une $(0,0)$ y $(1,0)$ a los puntos finales de $$ y=1-\frac\pi8+\sqrt{x-x^2}\tag{14} $$

que tiene una longitud de $$ 2+\frac\pi4=2.7853981633974483096\tag{15} $$ Sin embargo, esta curva no es la gráfica de una función.

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Una secuencia de aproximaciones

$$ f_n(x)=\frac1{c_n}\left(1-\frac\pi8+\sqrt{x-x^2}\right)\left(x-x^2\right)^{1/n}\tag{16} $$ donde $$ c_n=\left(1-\frac\pi8\right)\frac{\Gamma\left(1+\frac1n\right)^2}{\Gamma\left(2+\frac2n\right)}+\frac{\Gamma\left(\frac32+\frac1n\right)^2}{\Gamma\left(3+\frac2n\right)}\tag{17} $$ Como $n\to\infty$ La longitud de $f_n$ se acerca a $2+\frac\pi4$ .

En $n=100$ obtenemos una longitud de $L=2.7857313936$ , menos de $\frac1{3000}$ por encima del mínimo:

En $n=1000$ obtenemos una longitud de $L=2.7854017568$ , menos de $\frac1{250000}$ por encima del mínimo.

Answer 2

El valor mínimo absoluto que se puede obtener es un rectángulo coronado por un semicírculo (el círculo tiene la mejor relación área/longitud de arco de cualquier forma) con una longitud de arco total de $2 \big(1 - \frac{\pi}{8}\big) + \frac{\pi}{2} \approx 2.78539$ . Si utilizas la aproximación de Fourier, puedes acercarte arbitrariamente a este límite. (Supongo que lo divertido de este reto es encontrar una función arbitrariamente "baja").

Answer 3

Sin un pensamiento o análisis más profundo, pensé que podría ser divertido ver partes de superelipses (traducidas), y tal vez hacer un top 10 con ello. Y, efectivamente, funcionó.

Así, he definido $g(x,n)=(1-|x|^n)^{1/n}$ y luego $$ f(x,n)=g(2x-1,n) = (1-|2x-1|^n)^{1/n}. $$ Normalizar $c_n=1/\int_0^1 f(x,n)\,dx$ y luego calcular la longitud de $c_n f(x,n)$ parecía que la opción óptima era $n=4$ .

La constante $c_4\approx 1.07871$ . La longitud del arco de $$ 1.07871(1-|2x-1|^4)^{1/4} $$ se calculó numéricamente que era $$ 2.81108, $$ que dejo como contribución.

El gráfico de $c_4f(x,4)$ se muestra a continuación:

Answer 4

Se puede obtener una buena solución modificando la solución "exacta". La solución "exacta" es $$ f(x) = \frac{8-\pi}8 + \sqrt{x(1-x)} $$ que tiene una longitud de arco de $\frac{8+\pi}4$ . Por ello, propongo una solución de la forma $$ f(x) = \sqrt{x(1-x)}(1+g(x)) $$ donde la solución "exacta" utiliza $g(x)=(8-\pi)/(8\sqrt{x(1-x)})$ . Queremos una solución similar a ésta, pero con un valor finito en $x=0$ y $x=1$ . Por ello, propongo una sencilla modificación. $$ f(x) = \sqrt{x(1-x)}\left(1+\frac{A}{\sqrt{(x+B)(1+B-x)}}\right) $$ Obsérvese que recuperamos la solución "exacta" si $B=0$ y $A=\frac{8-\pi}8$ . Así, podemos acercarnos arbitrariamente a esta solución seleccionando los valores adecuados para $A$ y $B$ . Aunque no es obvia una expresión de forma cerrada que relacione los dos parámetros, los valores pueden elegirse numéricamente. Por ejemplo, para $B=0.0001$ tenemos $A\approx\frac{8-\pi}8+0.00058333971346\approx0.60788425801473$ . Para estos, tenemos $$ \int_0^1 \sqrt{1+f'(x)^2}dx\approx 2.78567 \approx \frac{8+\pi}4 + 2.67\times10^{4} $$ En este caso, la expresión resulta ser $$ f(x)=\sqrt{x(1-x)}\left(1+\frac{0.60788425801473}{\sqrt{(x+0.0001)(1.0001-x)}}\right) $$ Obsérvese que esto también puede expresarse como $$ f(x)=\sqrt{x(1-x)}\left(1+\frac{0.60788425801473}{\sqrt{x(1-x)+0.00010001}}\right)\tag{$ \N - Puñal $} $$ Este es el gráfico de la $f(x)$ dado en $(\dagger)$ :

Answer 5

Un enfoque fácil es construir simplemente una elipse cuya mitad superior satisfaga las condiciones anteriores.

Una elipse se define mediante $2$ números $a$ y $b$ que son cada uno la mitad del eje mayor y menor de la elipse.

Entonces todos los puntos $(x,y)$ que satisfacen la siguiente ecuación están en la elipse:

$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$

O para obtener la mitad superior del eclipse en función:

$$ y = b \, \sqrt{\left(1 - \frac{x^2}{a^2}\right) } $$

La zona $A$ de la elipse completa viene dada por $A = \pi\,a\,b$ y por lo tanto nuestra primera condición se traduce en:

$$ \frac{1}{2}\,\pi\,a\,b = 1$$

Además, como queremos que $f(0) = 0 = f(1)$ tenemos:

$$ 2\,a = 1 $$

Eso ya nos da

$$ a = \frac{1}{2} \\ b = \frac{4}{\pi} $$

y, por tanto, una elipse con el tamaño correcto. Sin embargo, esto da como resultado una elipse que se cruza con el $x$ -Eje en $x_1=-0.5$ y $x_2=0.5$ . Para cumplir con nuestras condiciones, movemos la elipse $0.5$ a la derecha y obtener:

$$ y = \frac{4}{\pi} \, \sqrt{1 - 4\,(x-0.5)^2 }\tag{$ \N - Puñal $} $$

Ahora simplemente dejamos que Wolfram Alpha hacer el cálculo de la longitud de arco. El resultado es $$ 2.919463, $$ y el gráfico en $(\dagger)$ aparece abajo: