¿Cuál es la diferencia entre$\mathrm{E}[Y|X = x]$ y$\mathrm{E}[Y|X]$ y entre$\mathrm{Var}(Y|X = x)$ y$\mathrm{Var}(Y|X)$?

Question

Estoy un poco confundido acerca de la diferencia entre

$\mathrm{E}[Y|X = x]$

y

$\mathrm{E}[Y|X]$

y de manera similar para la varianza.

Me parece que el primero debería ser un escalar, porque primero seleccionamos un$X = x$ específico y luego obtenemos el valor esperado de$Y$ dentro de ese conjunto, mientras que el segundo es una variable aleatoria que depende de la aleatoria variable $X$. ¿Es eso correcto?

Cualquier definición que use las probabilidades$\mathrm{P}(X)$,$\mathrm{P}(Y)$,$\mathrm{P}(Y|X)$ y$\mathrm{P}(Y, X)$ es apreciada.

Answer 1

Su suposición es correcta.

Digamos que con probabilidad de $1/2$ I recoger una visión sesgada de la moneda, y la lanza, consiguiendo $Y=1$ con una probabilidad de $1/3$ $Y=0$ con una probabilidad de $2/3$. Y con una probabilidad de $1/2$ I elegir una evaluación imparcial de la moneda. Deje $X$ $0$ o $1$, según como puedo elegir el parcial o imparcial de la moneda. Entonces $$\begin{align} E(Y \mid X=0) & = \frac 1 3 \\ \\ E(Y \mid X=1) & = \frac 1 2 \\ \\ \\ E(Y \mid X) & = \begin{cases} \frac 1 3 & \text{with probability }1/2, \\ \\ \frac 1 2 & \text{with probability }1/2. \end{casos} \end{align}$$ Y lo mismo para varianzas condicionales.

Habiendo hecho eso, uno puede escribir cosas como $$E(E(Y \mid X)) = E(Y)$$ (la ley de la total expectativa) y $$E(\operatorname{var}(Y \mid X)) + \operatorname{var}(E(Y \mid X)) = \operatorname{var}(Y)$$ (la ley de la varianza total, lo que rompe la varianza en un "explicado" en parte y un "inexplicable" parte). (Ahora me doy cuenta de que escribí el "inexplicable" de la parte primera, así que no agregar ", respectivamente".)

En forma similar, uno tiene $$E(\Pr(A \mid X)) = \Pr(A)$$ (la ley de total probabilidad).