¿Cuál es la categoría opuesta a $Set$ ?

Question

En $Set$ el objeto inicial es el conjunto vacío, y tiene un morfismo único hacia cada uno de los otros objetos, a saber $f=\emptyset$ . Sin embargo, me resulta difícil pensar en la categoría ${Set}^{op}$ ¿existe algún morfismo de $X \subset Obj(Set)$ a $\emptyset$ ¿en absoluto? ¿Puede un conjunto vacío ser el codominio de alguna función?

Answer 1

Acabo de ver esta pregunta. Estoy un poco sorprendido de que ninguna de las respuestas diga concretamente lo que $Set^{op}$ es. Es la categoría de las álgebras booleanas atómicas completas, o equivalentemente álgebras booleanas completas de la forma $P(X)$ donde $X$ es un conjunto. Los morfismos son morfismos de álgebras booleanas completas (es decir, funciones que preservan encuentros y negaciones arbitrarias, por lo que también preservan las operaciones booleanas).

Nótese que un morfismo de álgebras booleanas atómicas completas $\phi: P(X) \to P(Y)$ está determinada únicamente por lo que hace a los átomos de $P(X)$ . Los átomos son, por supuesto, monotonos de $X$ si denotamos $\phi(\{x\}) = S_x \subseteq Y$ entonces podemos definir una función correspondiente $f: Y \to X$ para ser el único tal que $f^{-1}(x) = S_x$ . Tenga en cuenta que $S_x$ y $S_{x'}$ son disjuntos si $x \neq x'$ porque $\emptyset = \phi(\emptyset) = \phi(\{x\} \cap \{x'\}) = \phi(\{x\}) \cap \phi(\{x'\}) = S_x \cap S_{x'}$ . Esto demuestra que $f$ está bien definida. Esto debería dar una idea clara de por qué obtenemos la categoría opuesta.

La manifestación concreta de $X \to \emptyset$ en $Set^{op}$ es el único mapa $P(X) \to P(\emptyset)$ donde el codominio tiene un solo elemento.

Answer 2

En la teoría de la categoría abstracta los morfismos son no se requiere que sean funciones : se nos da una clase arbitraria, considerando sus elementos como flechas, dotada de dominio y codominio información y una operación asociativa.

Si queremos, podemos especificar que para una función $f:A\to B$ , dejemos que ${\rm dom\,}f:=B$ y ${\rm cod\,}f:=A$ y la operación se define como composición inversa de funciones -- esta es la categoría $Set^{op}$ .
La misma entidad, $f$ como función, desempeña el papel de una flecha $f:A\to B$ en $Set$ pero, al mismo tiempo, es una flecha $B\to A$ en $Set^{op}$ .

De todos modos, el functor contravariante powerset establece una equivalencia entre la categoría opuesta de finito y la categoría $BA_{fin}$ de álgebras booleanas finitas y por lo tanto $$Set^{op} \simeq Pro(BA_{fin})$$ donde $Pro$ denota el pro-acabado : es decir, tomando formalmente todos los límites filtrados.

Answer 3

Esta pregunta es bastante antigua, así que me sorprende que nadie haya mencionado la respuesta más sencilla.

Puesto que las funciones son relaciones binarias únicas a la derecha y totales a la izquierda, sus inversas son únicas a la izquierda y totales a la derecha. Entonces, $\mathsf{Set}^\mathrm{op}$ es la categoría con conjuntos como objetos y relaciones binarias únicas a la izquierda y totales a la derecha como morfismos.

En cuanto a las relaciones como subconjuntos del producto cartesiano, el $X\to \emptyset$ es el conjunto vacío. En realidad se trata de un morfismo en $\mathsf{Set}^\mathrm{op}$ porque es una relación binaria única a la izquierda y total a la derecha.

Answer 4

Hay exactamente un morfismo de $X$ a $\emptyset$ , es decir, la función única de $\emptyset$ a $X$ .