Puede $Ax = b$ tienen infinitas soluciones para cada $b$ en $ℝ^m$ ?

Question

He estado aprendiendo sobre la independencia/dependencia lineal y me hicieron esta pregunta: Supongamos que un m × n matriz A tiene n columnas pivotantes. Explique por qué para cada b en $^m$ la ecuación Ax=b tiene como máximo una solución? Pista: Explica por qué Ax=b no puede tener infinitas soluciones.

Como referencia:

Sea A un m × n matriz. Entonces las siguientes afirmaciones son lógicamente equivalentes:

1. Para cada b en $\Bbb R^m$ la ecuación Ax = b tiene una solución.
2. Cada b en $\Bbb R^m$ es una combinación lineal de las columnas de A .
3. Las columnas de A span $\Bbb R^m$ .
4. A tiene una posición de pivote en cada fila.

Entiendo que cada b en $^m$ tiene una solución, porque, en la pregunta, cada columna es una columna pivote. Por lo tanto, no hay variables libres, y Ax = b no puede tener infinitas soluciones. Sin embargo, todo esto llevó a mi pregunta:

¿Hay alguna circunstancia en la que Ax = b tiene infinitas soluciones para cada b en $^m$ o, si hay una solución para cada b en $^m$ ¿es siempre único (sólo uno)?

Edición: ¿Esta matriz A tienen infinitas soluciones para cada b ? \begin{array}{l}1&0&0&*\\0&1&0&*\\0&0&1&*\end{array}

Asterisco = cualquier número. Si se añade el vector b al lado derecho de esta matriz A para convertirla en una matriz aumentada, seguiría habiendo una posición de pivote en cada fila, pero también habría una variable libre $x_4$ . ¿Sería esta una circunstancia en la que Ax = b tiene infinitas soluciones para cada b en $^m$ ?

Answer 1

Si el $m\times n$ matriz $A$ tiene rango $n$ ( $n$ columnas pivotantes), entonces $A$ tiene un inverso a la izquierda. Si $L$ es un inverso de la izquierda y $v_1$ y $v_2$ son soluciones de $Ax=b$ entonces $Av_1=b=Av_2$ Así que $$ v_1=I_nv_1=LAv_1=LAv_2=I_nv_2=v_2 $$ De ahí que el sistema $Ax=b$ tiene como máximo una solución.

De otra manera: el sistema $Ax=b$ puede tener infinitas soluciones sólo si la matriz $A$ tiene alguna columna no pivotante (en este caso el sistema tiene infinitas soluciones o ninguna). De hecho, cuando se realiza la eliminación gaussiana, las columnas pivote corresponden a incógnitas cuyo valor viene determinado por el vector $b$ mientras que las columnas no pivotantes corresponden a "variables libres" a las que se les pueden dar valores arbitrarios.

Por el contrario, si cada sistema $Ax=b$ tiene una solución, entonces la matriz $A$ debe tener $m$ columnas pivotantes, o algún sistema no tendría solución. Si se cumplen ambas condiciones (es decir, $n$ columnas pivote y cada sistema tiene una solución), entonces $m=n$ y la matriz $A$ es invertible.