Puntos en un avion

Question

Me han asignado este problema y no estoy seguro de cómo acercarse a él! Por favor me ayudara a entender lo que debo hacer!

Deje $S$ ser un conjunto finito de puntos en un plano elegido tienen la propiedad de que para cada una de las $P\in S$ no es exactamente un punto de $Q_P \in S \setminus \{P\}$ más cercano a $P$.

Únete a cada punto de $P$ $S$ hasta el punto de $Q_P$. Probar lo siguiente:

1. El diagrama obtenido no contiene polígono cerrado.

2. No hay dos de las líneas que se cruzan entre sí.

3. No hay un punto se unió a más de 5 puntos.

Answer 1

Sugerencia 1: Supongamos que se hace. Deje $A_i$ ser la serie de puntos, de tal manera que $A_{i+1}$ es el punto más cercano a $A_i$. Considerar las implicaciones en las distancias $A_i A_{i+1}$$A_{i-1} A_i$. Por lo tanto, llegar a una contradicción.

Sugerencia 2: Supongamos que se hace. Vamos los 4 puntos a, B, C, D, donde a $B$ es el punto más cercano a $A$ $D$ es el punto más cercano a $C$. Mostrar que $AB + CD > AC + BD$ por la desigualdad de triángulo. Por lo tanto, llegar a una contradicción.

Sugerencia 3: Supongamos que se hace. Deje que el vértice punto de ser $A$, dejar los puntos en los que está conectado a $A_i$, marcados en una de las agujas del reloj manera. Mostrar que $A_i A A_{i+1} > 60^\circ$. Por lo tanto, llegar a una contradicción.