¿La condición específica en un subgrupo normal de un grupo finito implica que es un factor directo?

Question

Supongamos $G$ es un grupo finito, $H \triangleleft G$, de tal manera que $H$ es simple y $Var(H) = Var(G) = Var(\frac{G}{H})$ (Aquí se $Var(G)$ representa un mínimo de grupo de opciones que contengan $G$). Eso no implica que $G \cong H \times \frac{G}{H}$?

Si $H \cong C_p$ para algunos de los mejores $p$, a continuación, $G$ es un grupo abelian de exponente $p$ para algunos de los mejores $p$, que se traduce $G \cong C_p^n$ naturales $n$. Así que por la clasificación de abelian grupos finitos $H$ es un factor directo de $G$. Por lo $G \cong H \times \frac{G}{H}$.

Sin embargo, yo no sé qué hacer aquí en la no-abelian caso.

Answer 1

La respuesta es Sí.

Supongamos $G$ es un grupo finito, $H\lhd G$ es un simple, normal subgrupo, y $Var(H) = Var(G)$. (No asumo que $Var(H) = Var(\frac{G}{H})$.)

En el caso de que $H$ es abelian se maneja en el enunciado del problema. (Argumento no requieren $Var(H) = Var(\frac{G}{H})$.) Para el caso de que $H$ es nonabelian, elija $N\lhd G$ máxima para las $H\cap N = \{1\}$. Por el maximality de $N$, $G/N$ es subdirectly irreductible. También, $G/N$ contiene un subgrupo $HN/N$ isomorfo a $H$ en su monolito. En particular, $G/N$ ha nonabelian monolito, y $|H|\leq |G/N|$.

Cada subdirectly irreductible grupo con nonabelian monolito que pertenece a $Var(H)$ es isomorfo a una sección de $H$ (cociente de un subgrupo de $H$) de acuerdo con el Teorema 10.1 de Conmutador de la Teoría de la Congruencia Modular Variedades. Pero la única sección de $S$ de $H$ que puede satisfacer $|H|\leq |S|$ es $H$ sí, por lo $G/N\cong H$. Esto demuestra que $N$ es un complemento normal a $H$, y $G\cong H\times N$.