${98 \choose 30}+2{97 \choose 30}+3 {96 \choose 30}+...+68{31 \choose 30}={100 \choose q}$
Encuentra el valor de$q$?
¿Podría alguien darme pistas sobre cómo resolver esta pregunta?
Respuestas
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Esto puede ser útil: $\displaystyle\sum\limits_{j=r}^n\,(n+1-j)\,\binom{j}{r}=\binom{n+2}{r+2}$. Debido a esta identidad, creo que su suma puede faltar el plazo $69\binom{30}{30}$.
Aquí está una prueba algebraica.
$$\begin{align}\sum_{j=r}^n\,(n+1-j)\,\binom{j}{r}&=(n+2)\,\sum_{j=r}^n\,\binom{j}{r}-\sum_{j=r}^n\,(j+1)\,\binom{j}{r}\\&=(n+2)\,\binom{n+1}{r+1}-(r+1)\,\sum_{j=r}^n\,\binom{j+1}{r+1}\\&=(n+2)\,\binom{n+1}{r+1}-(r+1)\,\binom{n+2}{r+2}\\&=(r+2)\,\binom{n+2}{r+2}-(r+1)\,\binom{n+2}{r+2}\\&=\binom{n+2}{r+2}\,.\end{align}$$
También hay una combinatoria prueba de esta identidad.
Hay $\displaystyle\binom{n+2}{r+2}$ subconjuntos $S$ $\{0,1,2,\ldots,n+1\}$ del tamaño de la $r+2$. Ahora, contamos el número de subconjuntos de a $S$ en una manera diferente. Deje $j\in\{r,r+1,r+2,\ldots,n\}$. El número de subconjuntos de a $S$ con la propiedad de que $j$ es el segundo elemento más grande de $S$ está dado por $\displaystyle(n+1-j)\,\binom{j}{r}$. En consecuencia, $$\sum\limits_{j=r}^n\,(n+1-j)\,\binom{j}{r}=\binom{n+2}{r+2}\,.$$
Esta es una analítica de la prueba.
De $$\begin{align}\sum_{k\geq 0}\,\binom{k+r+2}{r+2}\,x^k&=(1-x)^{-(r+3)}=(1-x)^{-2}\,(1-x)^{-(r+1)}\\&=\left(\sum_{k\geq 0}\,(k+1)\,x^k\right)\,\left(\sum_{k\geq 0}\,\binom{k+r}{r}\,x^k\right)\\&=\sum_{k\geq 0}\,\left(\sum_{j=0}^k\,(k+1-j)\,\binom{j+r}{r}\right)\,x^k\,,\end{align}$$ the coefficient of $x^{n-r}$ in $(1-x)^{-(r+3)}$ is thus $$\binom{n+2}{r+2}=\sum\limits_{j=0}^{n-r}\,\big((n-r)+1-j\big)\,\binom{j+r}{r}=\sum\limits_{j=r}^n\,(n+1-j)\,\binom{j}{r}\,.$$
En general, $\displaystyle\sum\limits_{j=r}^n\,\binom{n+k-1-j}{k-1}\,\binom{j}{r}=\binom{n+k}{r+k}$. A continuación se inductivo prueba de esta identidad, aunque se puede usar una combinatoria o analítica argumento para comprobar muy fácilmente.
Deje $\displaystyle T_{n,r,k}:=\sum\limits_{j=r}^n\,\binom{n+k-1-j}{k-1}\,\binom{j}{r}$ para los números enteros no negativos $n,r,k$ (donde $\binom{m}{-1}:=0$ para todos los números enteros no negativos $m$, e $\binom{-1}{-1}:=1$). Vamos a probar, primero, que el $T_{n,r,k}=T_{n-1,r-1,k+1}$ para todos los números enteros $n\geq 1$, $r\geq 1$, y $k\geq 0$.
Tenga en cuenta que $\binom{j}{r}=\sum\limits_{i=r-1}^{j-1}\,\binom{i}{r-1}$ para todos los enteros $r\geq 0$$j\geq r$. Por lo tanto, $$\begin{align}T_{n,r,k}&=\sum\limits_{j=r}^n\,\binom{n+k-1-j}{k-1}\,\binom{j}{r}\\&=\sum\limits_{j=r}^n\,\binom{n+k-1-j}{k-1}\,\sum\limits_{i=r-1}^{j-1}\,\binom{i}{r-1}\\&=\sum_{i=r-1}^{n-1}\,\binom{i}{r-1}\,\sum_{j=i+1}^n\,\binom{n+k-1-j}{k-1}\\&=\sum_{i=r-1}^{n-1}\,\binom{i}{r-1}\,\sum_{j=k-1}^{n+k-2-i}\,\binom{j}{k-1}\\&=\sum_{i=r-1}^{n-1}\,\binom{i}{r-1}\,\binom{n+k-1-i}{k}\\&=\sum_{i=r-1}^{n-1}\,\binom{(n-1)+(k+1)-1-i}{(k+1)-1}\,\binom{i}{r-1}\\&=T_{n-1,r-1,k+1}\,.\end{align}$$
Since $\displaystyle T_{n,r,k}=\binom{n+k}{r+k}$ for $k=0$ and $k=1$, it follows from $T_{n,r,k}=T_{n-1,r-1,k+1}$ that $\displaystyle T_{n,r,k}=\binom{n+k}{r+k}$ for any nonnegative integer $k$. La prueba se ha completado.
marty cohen
Puntos
33863
Quiere $ N = \ sum_ {k = 1} ^ {68} k \ binom {99-k} {30} $.
Según Wolfy esto es $ 143012501349174257560226706 $.
De nuevo, según Wolfy, $ \ binom {100} {32} = 143012501349174257560226775 $.
Estos difieren en$69$.
Entonces, a menos que Wolfy haya cometido un error, no existe tal$q$, pero$q=32$ se acerca mucho .
