Resuelve esta integral utilizando el Teorema del Residuo

Question

Estoy tratando de encontrar

$$\int_{0}^{\infty} {\frac{\ln(x)}{(x+1)^3}}dx$$

Utilizando la fórmula del residuo.

Principalmente me está costando encontrar un contorno que funcione, ya que hay que incluir el polo de orden tres en $x=-1$ .

He probado con un círculo parcial y sangrado que va desde $\theta = 0$ a $4\pi/3$ y un $3/4$ círculo también, pero en ambos casos, si $\gamma_3(t) = te^{i\theta}, t \in (R,0)$ para un fijo $\theta$ en el tercer cuadrante, nos queda la parte real de la integral, así como una integral compleja igualmente difícil de resolver.

El residuo que he calculado es:

$$res_{-1}f(z) = \lim_{z \rightarrow -1}\frac{1}{3!} \frac{d^2}{dz^2} (z+1)^3 \frac{\ln{z}}{(1+z)^3}$$ $$=\frac{1}{2}* \frac{-1}{-1^2} = \frac{-1}{2}$$

Así que eso significa que toda la integral compleja debe ser $2\pi i* \frac{-1}{2} = -\pi i$ ...

Tuve otra idea para un contorno que atrapa el polo: tenemos

$$\gamma_1(t) = t, t \in (\epsilon, R)$$ $$\gamma_2(t) = Re^{it}, t\in (0, \pi/2)$$ $$\gamma_3(t) = e^{it} -1, t \in (\pi, 2\pi - \epsilon)$$ $$\gamma_4(t) = $$ el pequeño círculo para completar el contorno.

Pero éste, para $\gamma_3$ nos da una extraña integral:

$$\int_{\pi}^{2\pi - \epsilon}\frac{\ln{e^{it} - 1}}{(e^{it} - 1 +1)^3}(ie^{it})$$

Lo cual se ve un poco mejor, pero no estoy seguro de cómo manejar la función de registro en este caso, y no parece prometedor. Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

SUGERENCIA:

Analizar la integral de contorno $\oint_C \frac{\log^2(z)}{(z+1)^3}\,dz$ donde $C$ es el clásico contorno de ojo de cerradura con un corte de rama a lo largo del eje real no negativo.

Utilice el teorema del residuo para evaluar esta integral de contorno cerrado (hay un polo de tercer orden en $z=-1$ ).

Por último, hay que tener en cuenta que $\log^2(z)=\log^2(x)$ en la parte de la rama cortada en el cuadrante I y $\log^2(z)=(\log(x)+2\pi i)^2$ en la parte de la rama cortada en el cuadrante IV.

Answer 2

El contorno que debemos utilizar para esta cuestión es un contorno básico de ojo de cerradura

En primer lugar, parametrizar sobre el contorno en cuatro áreas diferentes. Dejemos que el círculo más pequeño tenga un radio de $\epsilon$ y el círculo mayor tienen un radio de $R$ . Además, denotemos los arcos del círculo mayor y del círculo menor como $\Gamma_R$ y $\gamma_{\epsilon}$ respectivamente. Considerando la función

$$f(z)=\frac {1}{(z+1)^3}$$

Tenemos

$$\begin{multline}\oint\limits_{\mathrm C}dz\, f(z)\log^2z=\int\limits_{\epsilon}^{R}dx\, f(x)\log^2x+\int\limits_{\Gamma_{R}}dz\, f(z)\log^2z\\-\int\limits_{\epsilon}^{R}dx\, f(x)(\log|x|+2\pi i)^2+\int\limits_{\gamma_{\epsilon}}dz\, f(z)\log^2z\end{multline}$$

Como $R\to\infty$ y $\epsilon\to0$ las integrales alrededor del arco desaparecen dejándonos con

$$\oint\limits_{\mathrm C}dz\, f(z)\log^2z=-4\pi i\int\limits_0^{\infty}dx\, f(x)\log x+4\pi^2\int\limits_0^{\infty}dx\, f(x)$$

Todo lo que tienes que hacer es calcular el residuo, multiplicarlo por $2\pi i$ y dividir la parte imaginaria por $-4\pi$ para obtener la respuesta a su integral.

El resto del trabajo te lo dejo a ti.