¿Cómo resolver $|a+b|+|a-b|=c$?

Question

Es intuitivo que $a=\pm \frac{c}{2}$, con $-\frac{c}{2}\leq b\leq \frac{c}{2}$ o viceversa son soluciones al problema. ¿Puedo llegar a estas soluciones sin dividir la expresión en todos los casos (es decir, $a$ y $b$ siendo positivos o negativos y $|a|$ siendo mayor o menor que $|b|$)? No hay nada de malo en eso, solo estoy buscando otra manera de resolver este problema. Intenté usando el hecho de que $|x|=\sqrt{x^2}$ pero la expresión rápidamente se vuelve muy compleja con las dos variables.

Answer 1

¿Qué está mal en hacer todos los casos?

Caso 1: $a+b \ge 0; a-b \ge 0$.

Luego $|a+b|+|a-b| = (a+b)+ (a-b) = c \ge 0$. Y $a =\frac c2$ y $b$ puede ser cualquier valor en $[-\frac c2, \frac c2]$.

Caso 2: $a+b \ge 0; a-b < 0$.

Luego $|a+b| + |a-b| = (a+b) + (b-a) = c \ge 0$. Y $b = \frac c2$. $a -\frac c2 < 0$ y $a+\frac c2 \ge 0$ así que $a$ puede ser cualquier valor en $[-\frac c2, \frac c2)$.

Caso 3: $a+b < 0$ y $a-b \ge 0$.

Luego $|a+b| + |a-b| = -a-b + a-b = -2b = c \ge 0$ así que $b = -\frac c2$ y $a\ge b$ y $a < -b$ así que $a$ puede ser cualquier valor en $[-\frac c2, \frac c2)$.

Caso 4: $a+b < 0$ y $a-b < 0$.

Luego $|a+b| + |a-b| = -a -b +b-a=-2a = c\ge 0$ así que $a = -\frac c2$ y $b< \frac c2$ y $b > -\frac c2$ ya que $b$ puede ser cualquier valor en $(-\frac c2, \frac c2)$.

....

Entonces las soluciones son $a =\pm \frac c2; b\in [-\frac c2, \frac c2]$ y $b = \pm \frac c2; a\in [-\frac c2, \frac c2]$.

Answer 2

WLOG, podemos asumir $a,b \ge 0$. También $a \ge b$.

Por lo tanto, $c = |a+b|+|a-b| = a+b + a-b = 2a$, y así $a=\frac c2$ y $b \le a=\frac c2$.

Answer 3

Existen varios métodos estándar: intervalos (casos), cuadrados, gráficos.

Vamos a hacer cuadrados: $$(|a+b|+|a-b|)^2=c^2 \iff \\ 2a^2+2b^2+2|a^2-b^2|=c^2 \iff \\ (2|a^2-b^2|)^2=(c^2-2(a^2+b^2))^2 \iff \\ 4a^2+4b^2-8a^2b^2=c^4-4(a^2+b^2)c^2+4a^2+4b^2+8a^2b^2 \iff \\ c^4-4(a^2+b^2)c^2+16a^2b^2=0 \Rightarrow \\ c^2=2(a^2+b^2)\pm \sqrt{(2(a^2+b^2))^2-16a^2b^2}=2a^2+2b^2\pm \sqrt{4(a^2-b^2)^2} \Rightarrow \\ c^2=2a^2+2b^2\pm 2|a^2-b^2|\stackrel{WLOG: \ |a|\ge |b|}{=} 4a^2;4b^2 \Rightarrow \\ a=\pm \frac c2; |b|\le |a| \Rightarrow -\frac c2\le b\le \frac c2.$$