Formulación original de Hilbert ' s problema 14

Question

Tengo un problema a ver cómo la formulación original de Hilbert 14 Problema es "el mismo" que el encontrado en la wikipedia. Esperemos que alguien de aquí me puede ayudar con eso. Permítanme citar Hilbert primero:

Es sei eine Anzahl $m$ von ganzen rationalen Funktionen $X_1,\dots,X_m$ der $n$ Variablen $x_1,\dots,x_n$ presentado: \begin{equation}\begin{split}X_1&=f_1(x_1,\dots,x_n)\\&\vdots\\X_m&=f_m(x_1,\dots,x_n).\end{split}\end{equation} (Él se llama a este sistema de sustituciones (S)). Jede ganze justificación Verbindung von $X_1,\dots,X_m$ wird offenbar durch Eintragung dieser Ausdrücke notwendig ocupa este cargo signa eine ganze justificación Funktion von $x_1,\dots,x_n$. Es kann jedoch sehr wohl gebrochene justificación Funktionen von $X_1,\dots,X_m$ geben, morir nach Ausführung jener de Sustitución (S) zu ganzen Funktionen en $x_1,\dots,x_n$ werden. Eine jede solche justificación Funktion von $X_1,\dots,X_m$, morir nach Ausführung der Sustitución (S) ganz en $x_1,\dots,x_n$ wird, ich möchte eine relativganze Funktion von $X_1,\dots,X_m$ call. Jede ganze Funktion von $X_1,\dots,X_m$ ist offenbar auch relativganz; ferner ist die Verano, morir Differenz und das Produkt relativganzer Funktionen ocupa este cargo signa wiederum relativganz.

Das entstehende Problema ist nun: zu dos lugares se puede elegir, obstetricia es ocupa este cargo signa möglich ist, ein endliches Sistema de von relativganzen Funktionen von $X_1,\dots,X_m$ aufzufinden, durch die sich jede andere relativganze Funktion en ganzer rationaler Weise zusammensetzen läßt.

Bueno, por desgracia, esto es en alemán. Esto es lo que hace fuera de ella, pero no puede garantizar es el derecho:

Empezar con $f_1,\dots,f_m\in k[x_1,...,x_n]$ campo $k$. Para cada $g\in k[X_1,\dots,X_m]$, $g(f_1,\dots,f_m)$ entonces es un polinomio en la $x_i$. Pero no puede ser $\varphi\in k(X_1,\dots,X_m)$ tal que $\varphi(f_1,\dots,f_m)\in k[x_1,\dots,x_n]$, lo que Hilbert llamadas "relativganz". Cada polinomio en el $X_i$ es, por supuesto, ya relativganz, así como la suma, diferencia y producto de funciones que son relativganz.

El problema: ¿Es siempre posible encontrar un número finito de r-g $g_1,\dots,g_s$ $k(X_1,\dots,X_m)$ de manera tal que cada r-g la función $\varphi$ puede ser expresado en la $g_i$ en un polinomio?

Ahora la formulación como se menciona en la wikipedia:

Deje $k$ ser un campo, y $K\subseteq k(x_1,\dots,x_n)$ ser un subcampo. Es el anillo de $R=K\cap k[x_1,\dots,x_n]$ finitely generado como un anillo?

Así que, como para la formulación original, podemos optar $R$ a ser el anillo de r-g funciones. Pero, ¿qué es $K$ en este caso? Me siento como la elección de $f_1,\dots,f_m$ debe corresponder a uno-a-uno para la elección de la subcampo $K$. Es posible que, dado que la segunda formulación, traducir esto de nuevo a la noción de "relativganz", es decir, puedo siempre interpretar $R$ como un anillo de r-g funciones? Son realmente equivalentes?

Lo siento por el que muchos se preguntan en este último párrafo, pero quiero entender realmente cómo traducir entre los dos aparentemente diferentes formulaciones :-)

Muchas gracias de antemano!

Answer 1

Las dos formulaciones son de hecho equivalentes.

El mapa de $f: k(X_1,...,X_m) \rightarrow k(x_1,...,x_n)$ que envía a $X_i$ $f_i$es una inyección de campos. Se identifica a $k(X_1,...,X_m)$ con un subcampo $K$$k(x_1,...,x_n)$. La intersección $R=K\cap k[x_1,...,x_n]$ es entonces todos los elementos de a $k(X_1,..,X_m)$ que se asignan a $k[x_1,...,x_n]$ través $f$, es decir, exactamente el relatinganz funciones (en relación a la f).

Es un hecho que cualquier subcampo $K$ $k(x_1,...,x_n)$ es finitely generado. Para recuperar Hilbert formulación, sólo tenemos que elegir generadores $f_1,...,f_m$ $K$ ( $k$ ). Tenga en cuenta que la noción de ser relativganz depende sólo en el campo de $K$ generado por el $f_i$, no los generadores individuales.