Encuentra los últimos tres dígitos de$p$ si las ecuaciones$x^6 + px^3 + q = 0$ y$x^2 + 5x - 10^{2013} = 0$ tienen raíces comunes.

Question

Encontrar los tres últimos dígitos de $p$ si las ecuaciones $x^6 + px^3 + q = 0$y $x^2 + 5x - 10^{2013} = 0$ tienen raíces comunes.

Deje $a,b $ ser la solución de la segunda ecuación, entonces por Vieta tenemos $a+b =-5$ e $ab=-10^{2013}$

Desde $ a^6+a^3p+q=0$ e $b^6+b^3p+q=0$ tenemos $ a^6-b^6+p(a^3-b^3)=0$ lo $ -p = a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

Por lo $ p = 5((a+b)^2-3ab) = 5(25+3\cdot 10^{2013})$ y por lo tanto los tres últimos dígitos son $125$.

Answer 1

Su prueba es totalmente correcta, aunque es posible que desee aclarar dos cosas:

1. Primero, si los dos polinomios tienen una raíz común, entonces tienen dos raíces comunes.
2. Segundo, ese $a^3-b^3\neq0$ cuando se divide por $a^3-b^3$ para deducir ese $-p=a^3+b^3$ .

Answer 2

Claramente $5|x$; cuando se $x_1+x_2=5$, que significa $x_1$ es $10^u+5$ e $x_2=10^v$. Por lo tanto $x_1^3=10 k_1+125$ e $x_2^3=10^{3v}$. Ahora en la ecuación de $x^6+px^3+q$ tenemos $p=x_1^3+x_2^3$ si $x_1$ e $x_2$ son raíces comunes. El resultado es que $p=10^t+125$, que son los tres últimos dígitos de $p$ es $125$.Generalmente, $p=10^t+5^n$ en ecuaciones como $x^{2n}+px^n+q=0$ si tienen raíces comunes con los de la ecuación de $x^2+5x-10^{2013}=0$