Una consulta sobre la prueba de Atiyah de la convexidad del mapa de momentos

Question

Esto se trata de probar la conectividad de los conjuntos de nivel de momento el mapa de una $\mathbb T^n$ $\implies$ convexidad de imagen de mapa momento para $\mathbb T^{n+1}$ acción. Estoy siguiendo a Ana Cannas maravilloso notas de la conferencia, pero me quedé atrapado en un punto en la prueba, donde se dice que para cualquier par de puntos $p_0,p_1 \in M$ hay una secuencia de puntos de $q_n \rightarrow p_0,l_n\rightarrow p_1$ tal que $\mu(p_1) - \mu(p_0)$ es de $ker A^t$ para algunos entero $(n+1) \times (n)$ matriz $A$ con rango n.

Me di cuenta de que sería suficiente para conseguir una secuencia tal que $\mu(p_1) - \mu(p_0)$ tiene todos los coeficientes racionales es suficiente, pero estoy confundido acerca de cómo hacer esto.

Miré a esta parte en Dusa Mcduff del libro y no abundar en este tema, así que tengo la sensación de que podría ser muy trivial, pero creo que me falta algún truco/ fácil observación.

Answer 1

Puede haber una manera más sencilla de hacer esto, pero aquí es una aproximación:

Basta considerar el caso cuando, en el momento en que mapa es eficaz (véase la parte 4 HW21).

Para demostrar que cualquier punto de $q$ de $\mu(M)$ puede ser aproximada por los puntos racionales de las coordenadas, si es suficiente para demostrar que $\mu(M)$ tiene un no-vacío interior. De hecho, si $q_0$ es un punto interior de a$\mu(M)$, a continuación, $\mu(M)$ contiene un abierto balón $B\subseteq \mu(M)$, y por lo tanto (por "racional de la pendiente del segmento de convexidad" probado antes) $\mu(M)$ contiene todos "racional pendiente" segmentos de $q$ a puntos en $B$, y, por tanto, el cierre de el conjunto de todos los segmentos. Este cierre es el cono sólido conectar $q$ al cierre de $B$, y contiene los puntos racionales coordenadas arbitrariamente cerca de $q$.

Para mostrar que $q_0$ existe sólo tenemos que encontrar a $x\in M$ con $d\mu_i(x)$ linealmente independientes. Vamos a llamar a tales puntos de $x$ "buena", y todos los otros "malos". Una "mala" punto de $y$ es uno donde exista $X$ tal que $<\mu, X>$ es de importancia fundamental en $y$, y por lo $y$ es un punto fijo de 1 parámetro subgrupo de la actuación de toro, por lo que es punto fijo de la subtorus que es el cierre de este subgrupo. Este subtorus contiene un subcircle generado por rational $X^r$ lo que significa que $y$ es fundamental para $<\mu, X^r>$. Eso significa que el conjunto de los puntos malos es la unión de críticos submanifolds de función $<\mu, X^r>$ como $X^r$ varía más racional de los vectores. Para cada individuo, $X^r$ el conjunto crítico es un simpléctica submanifold de $M$ (HW21, parte 2), y si la acción es eficaz es correcto submanifold, por lo que de codimension al menos 2. Desde una contables de la unión de codimension 2 submanifolds no puede cubrir $M$ sabemos que un buen punto existe y hemos terminado.