Forma elemental de evaluar$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt[n]{a+x} - \sqrt[n]{a-x}}{x}$

Question

Evaluar: $$ \lim_{x\to0}\frac{\sqrt[n]{a+x} - \sqrt[n] {- x}}{x},\ un>0,\ n\in\Bbb N $$

He dado varios intentos, pero no podía encontrar un elemental método para encontrar el límite. Otras dos formas en las que trabajó se L'Hospital de la regla y generalizado de la expansión binomial.

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Primer método: $$ \lim_{x\to0} f(x) = \lim_{x\to0}\frac{g(x)}{h(x)} = \lim_{x\to0}\frac{g'(x)}{h'(x)} \\ = \lim_{x\to0}\left({1\over n}\left(a+x\right)^{{1\over n} -1} + {1\over n}(a-x)^{{1\over n} - 1}\right) = {2\sobre n}{a^{n-1\sobre n}} = \frac{2\sqrt[n]{a}}{na} $$

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Segundo método: $$ (a+x)^{1\over n} = \sqrt[n]{un}\left(1 + {x\a través de una}\right)^{1\over n} =\\ \sqrt[n]{un}\left(1 + {1\over n}{x\a través de una} + \frac{\left({1\over n}\right)\left({1\over n} - 1\right)}{2!}\a la izquierda({x\a través de una}\right)^2 + \cdots \right) $$

También: $$ (a-x)^{1\over n} = \sqrt[n]{un}\left(1 - {x\a través de una}\right)^{1\over n} = \\ \sqrt[n]{un}\left(1 - {1\over n}{x\a través de una} + \frac{\left({1\over n}\right)\left({1\over n} - 1\right)}{2!}\a la izquierda({x\a través de una}\right)^2 + \cdots \right) $$

La combinación de aquellos puede obtener: $$ \lim_{x\to0}f(x) = \lim_{x\to0}\frac{\sqrt[n]{un}\left({2x\over na} + O(x^2)\right)}{x} = \frac{2\sqrt[n]{a}}{na} $$

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El problema es que no estoy supone que el uso de derivados para la solución de ese límite. También, la generalización de la expansión binomial es algo demasiado complicado también.

¿Hay algún primaria en los métodos para evaluar el límite de la sección de problema?

También he estado tratando de lanzar la expresión de la forma: $$ \lim_{x\a}\frac{x^n - a^n}{x} = na^{n-1} $$

pero fracasó.

Answer 1

Solo escribe

• $\frac{\sqrt[n]{a+x} - \sqrt[n]{a-x}}{x} = 2 \frac{\sqrt[n]{a+x} - \sqrt[n]{a-x}}{(a+x) - (a-x)}$

Ahora, use $a^n-b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \cdots + ab^{n-2} + b^{n-1})$

Entonces, obtienes

\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[n]{a+x} - \sqrt[n]{a-x}}{x} & = & 2 \frac{\sqrt[n]{a+x} - \sqrt[n]{a-x}}{(a+x) - (a-x)}\\ & = & \frac{2}{\sum_{k=0}^{n-1}\sqrt[n]{(a+x)^{n-1-k}(a-x)^k}}\\ & \stackrel{x \to 0}{\longrightarrow} & \frac{2}{\sum_{k=0}^{n-1}\sqrt[n]{a^{n-1-k}a^k}} \\ & = & \frac{2}{n\sqrt[n]{a^{n-1}}} \\ & = & \frac{2\sqrt[n]{a}}{na} \\ \end {eqnarray *}

Answer 2

Primero, debería ser lo suficientemente fácil como para ver que su límite es $$ 2 \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[n]{a+x}-\sqrt[n]{a}}{x} $ $

Ahora cambie las variables a $y=\sqrt[n]{a+x}$ , dando $x=y^n-a$ : $$ \cdots = 2 \lim_{y\to b}\frac{y-b}{y^n-b^n} \qquad\text{where }b=\sqrt[n]{a}$ $ Tome el límite del recíproco en su lugar: $$ \cdots = \frac{2}{\lim\limits_{y\to b}\frac{y^n-b^n}{y-b}} $ $ y ahora puede usar la regla que escriba que ya tiene disponible.

Answer 3

La última fórmula en tu pregunta es la clave aquí. Deje que $u=a+x, v=a-x$ para que ambos $u, v$ tiendan a $a$ como $x\to 0$ . También $(u-a) /x\to 1$ y $(v-a) /x\to - 1$ . La expresión dada se puede escribir como $$\frac{u^{1/n}-a^{1/n}}{u-a}\cdot\frac{u-a}{x}-\frac{v^{1/n}-a^{1/n}}{v-a}\cdot\frac{v-a}{x}$$ which tends to $$\frac{1}{n}a^{(1/n)-1}+\frac{1}{n}a^{(1/n)-1}=\frac{2a^{1/n}}{na}$ $

Answer 4

Con $$\sqrt[n]{a+x}=u,\\\sqrt[n]{a-x}=v,$$

$$\frac{u-v}x=\frac{u^n-v^n}{x(u^{n-1}+u^{n-2}v+\cdots v^{n-1})}=\frac2{u^{n-1}+u^{n-2}v+\cdots v^{n-1}}.$$

Cada término en el denominador tiende a $a^{(n-1)/n}$ e hay $n$ de ellos.

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Como alternativa, deje $x=at$ y tire $a$ fuera de la expresión,

$$\frac{\sqrt[n]{a+at} - \sqrt[n]{a-at}}{at}=a^{1/n-1}\frac{\sqrt[n]{1+t} - \sqrt[n]{1-t}}{t},$$

donde la fracción tiende a una constante. Esto trae a la mitad del camino de la obra.

Ahora,

$$\lim_{t\to0}\frac{\sqrt[n]{1+t} - 1+1-\sqrt[n]{1-t}}{t}=\left.\left(\left(\sqrt[n]{1+t}\right)'-\left(\sqrt[n]{1-t}\right)'\right)\right|_{t=0} =2\left.\a la izquierda(\sqrt[n]{1+t}\right)'\right|_{t=0}.$$

Usted puede calcular la derivada o utilizar el desarrollo de Taylor de$\sqrt[n]{1+t}$, y establecer que la constante es $\dfrac2n$.

Answer 5

Alternativamente: $$ \ lim_ {x \ to0} \ frac {\ sqrt [n] {a + x} - \ sqrt [n] {ax}} {x} = \ lim_ {x \ to0} \ frac {\ sqrt [n] {ax} \ cdot \ left (\ sqrt [n] {\ frac {a + x} {ax}} - 1 \ right)} {x} \ stackrel {\ frac {a + x} {ax} = t ^ n} {=} \\ \ sqrt [n] {a} \ cdot \ lim_ {t \ to1} \ frac {t-1} {\ frac {a (t ^ n-1)} {t +1}} = \ frac {2 \ sqrt [n] {a}} {a} \ cdot \ lim_ {t \ to1} \ frac {t-1} {t ^ n-1} = \ frac {2 \ sqrt [n] {a}} {an}. $$