¿Coeficientes de un polinomio son también las raíces del polinomio?

Question

Cuántas soluciones reales $(r_1, r_2, \cdots, r_n)$ están allí, que $(r_1, r_2, \cdots, r_n)$ son las raíces de los polinomios $x^{n} + r_1 x^{n-1} + r_2 x^{n-2} + \cdots + r_n$

Para $n = 2, 3, 4$ encontré $2, 4, 5$ soluciones reales, y $2, 6$, y de acuerdo a WA y asumiendo una doble raíz, $24$ soluciones complejas. Es posible generalizar este real/complejo soluciones? En particular, una prueba (o disputa de hecho) de que el número de soluciones complejas, sigue el factoriales, y si es posible también encontrar un patrón para el número de soluciones reales. Yo preferiría no respuesta, que es sólo un cálculo para mostrar un patrón hasta algunos $n$.

Editado porque de recompensa.

Answer 1

En primer lugar, podemos señalar que si $(r_1,\ldots,r_n)$ es una solución para el grado $n$ problema, a continuación, $(r_1,\ldots,r_n,0)$ es una solución para el grado $n+1$ problema, y viceversa.

En segundo lugar, como ya ha sido señalado por benh, el espacio de la solución para $r=(r_1,\ldots,r_n)$ está dado por las soluciones del conjunto de la $n$ ecuaciones polinómicas $$ \sigma_k(-r)=\sigma_k(-r_1,\ldots,-r_n)=r_k $$ donde $\sigma_k$ $k$th simétrica de la función, y el lado izquierdo son los coeficientes de $\prod_{i=1}^n(t-r_i)$. Estos tienen grados $1,2,\ldots,n$.

En el caso genérico, usted puede contar el número de soluciones mediante la multiplicación de los grados de los polinomios, que nos dice que no debería ser $n!$ soluciones complejas. Esto supone contamos las raíces de las multiplicidades, de que no hay raíces "en el infinito", y que las ecuaciones forman un completo intersección (es decir, el espacio de la solución se compone de un conjunto discreto de puntos y no de mayores dimensiones de los conjuntos).

Si el espacio de la solución ha dimensión positiva, no sería soluciones "en el infinito". Por "al infinito", quiero decir que incrustar $n$-espacio en el proyectiva $n$-espacio, y el nuevo punto son los que están en el infinito. Un punto en el infinito puede ser descrito por una "línea" (es decir, plano complejo) que pasa por el origen: es decir, por $(sx_1,\ldots,s_xn)$ $s$ va al infinito, donde el $x_i$ no son todos cero. Así pues, debo mostrar que no hay soluciones en el infinito.

Más formalmente, la proyectiva $n$-el espacio está dada por las relaciones de $[x_0:x_1:\ldots:x_n]$ donde no todos los $x_i$ son cero, lo que es lo mismo que decir que la proyectiva punto corresponde a la línea (plano complejo) $(sx_0,\ldots,sx_n)$ (es decir, estos representan el mismo punto en el espacio proyectivo). El regular $n$-espacio es el subespacio dado por $[1:x_1:\ldots:x_n]$, mientras que los puntos en el infinito son aquellos con $x_0=0$.

Si hay soluciones en el infinito, entonces el líder de los términos (es decir, superior términos del grado) de la $n$ polinomios $\sigma_k(-r)-r_k$ debe ser cero en ese punto. Para $k>1$, el principal término es simplemente $\sigma_k(-r)$. Si $\sigma_n(-x)=0$ algunos $x=(x_1,\ldots,x_n)$, entonces uno de los $x_i$ debe ser cero; si también se $\sigma_{n-1}(-x)=0$, luego otro debe ser cero; y así sucesivamente hasta $\sigma_2(-x)=0$, por lo tanto $n-1$ de la $x_i$ debe ser cero. Por último, tenemos la última ecuación, $x_1+\sigma_1(x)=2x_1+x_2+\cdots+x_n=0$ $n-1$ de la $x_i$ igual a cero, lo que obliga al pasado a ser cero, así. Por lo tanto, no hay soluciones en el infinito.

Así que, contando con soluciones complejas con la multiplicidad de los rendimientos de $n!$ soluciones.

Sospecho, sin embargo, sería mucho más difícil identificar las verdaderas soluciones.

Answer 2

El coeficiente de $a_k$ del polinomio $f$ es (signo) el $k$-th primaria simétrica polinomio en $n$ variables evaluadas en las raíces complejas de $f$, que es:

$$ \begin{eqnarray} r_1 &=& -e_1(r_1,...,r_n)&=&r_1+...+r_n \\ r_2 &=& e_2(r_1,...,r_n)&=&r_1r_2+r_1r_3...+r_{n-1}r_n \\ r_n &=& (-1)^ne_n(r_1,...,r_n)&=&r_1\cdot \cdot \cdot r_n \end{eqnarray}$$

Así que a partir de una expresión algebraica-punto de vista geométrico, que está pidiendo la desaparición de establecer el conjunto de los polinomios $$\Big(-e_1(X_1,...,X_n)-X_1\;,\;\dots\;,\;(-1)^ne_n(X_1,...,X_n)-X_n \Big).$$

Como la primaria simétrica polinomios generar el anillo de todos los polinomios simétricos (de ahí el nombre), el conjunto de todas las soluciones deben ser de un número finito de subconjunto algebraico de $\Bbb C^n$.

Desde un punto de vista analítico, las soluciones están determinados por estas $n$ ecuaciones algebraicas.

Answer 3

Alfa confirma su cuenta para grado $3$. El número de soluciones complejas que parecen los números triangulares. Que es sorprendente-yo esperaría que la factoriales, como que es el producto de los grados de las ecuaciones. Por desgracia, cuando me fui del cuarto grado, Alfa comenzó a dar el valor de una variable, no todos los cuatro. Me hizo llegar $23$ soluciones de Alfa (clic en más raíces) para el cuarto grado de la ecuación. Cinco de ellos se $r_1=1$, pero los otros eran todas diferentes. Hubo otras dos soluciones reales para $r_1$, pero no se muestra el resto eran reales.

Answer 4

Utilizando este código para generar las ecuaciones en Mathematica

n = 7;
vars = {a, b, c, d, e, f, g};
eqs = Table[(-1)^i SymmetricPolynomial[i, vars] - vars[[i]], {i, n}];
eqs // InputForm

y Macaulay2 calcular dimensiones y grados, obtenemos:

Macaulay2, version 1.5
warning: sample Factory finite field addition table file missing, factorization may fail: /usr/share/Macaulay2/Core/factory/gftable.31.2
with packages: ConwayPolynomials, Elimination, IntegralClosure, LLLBases,
               PrimaryDecomposition, ReesAlgebra, TangentCone

i1 : R = QQ[a, b, c]

o1 = R

o1 : PolynomialRing

i2 : I = ideal (-2*a - b - c, -b + a*b + a*c + b*c, -c - a*b*c);

o2 : Ideal of R

i3 : dim I

o3 = 0

i4 : degree I

o4 = 6

i5 : R = QQ[a, b, c, d];

i6 : I = ideal (-2*a - b - c - d, -b + a*b + a*c + b*c + a*d + b*d + c*d, 
      -c - a*b*c - a*b*d - a*c*d - b*c*d, -d + a*b*c*d);

o6 : Ideal of R

i7 : dim I

o7 = 0

i8 : degree I

o8 = 24

i9 : R = QQ[a, b, c, d, e];

i10 : I = ideal (-2*a - b - c - d - e, -b + a*b + a*c + b*c + a*d + b*d + c*d + 
        a*e + b*e + c*e + d*e, -c - a*b*c - a*b*d - a*c*d - b*c*d - 
        a*b*e - a*c*e - b*c*e - a*d*e - b*d*e - c*d*e, 
       -d + a*b*c*d + a*b*c*e + a*b*d*e + a*c*d*e + b*c*d*e, 
       -e - a*b*c*d*e);

o10 : Ideal of R

i11 : dim I

o11 = 0

i12 : degree I

o12 = 120

i13 : R = QQ[a, b, c, d, e, f];

i14 : I = ideal (-2*a - b - c - d - e - f, -b + a*b + a*c + b*c + a*d + b*d + 
        c*d + a*e + b*e + c*e + d*e + a*f + b*f + c*f + d*f + e*f, 
       -c - a*b*c - a*b*d - a*c*d - b*c*d - a*b*e - a*c*e - b*c*e - 
        a*d*e - b*d*e - c*d*e - a*b*f - a*c*f - b*c*f - a*d*f - b*d*f - 
        c*d*f - a*e*f - b*e*f - c*e*f - d*e*f, 
       -d + a*b*c*d + a*b*c*e + a*b*d*e + a*c*d*e + b*c*d*e + a*b*c*f + 
        a*b*d*f + a*c*d*f + b*c*d*f + a*b*e*f + a*c*e*f + b*c*e*f + 
        a*d*e*f + b*d*e*f + c*d*e*f, -e - a*b*c*d*e - a*b*c*d*f - 
        a*b*c*e*f - a*b*d*e*f - a*c*d*e*f - b*c*d*e*f, -f + a*b*c*d*e*f);

o14 : Ideal of R

i15 : dim I

o15 = 0

i16 : degree I

o16 = 720

i17 : R = QQ[a, b, c, d, e, f, g];

i18 : I = ideal (-2*a - b - c - d - e - f - g, -b + a*b + a*c + b*c + a*d + b*d + 
        c*d + a*e + b*e + c*e + d*e + a*f + b*f + c*f + d*f + e*f + 
        a*g + b*g + c*g + d*g + e*g + f*g, -c - a*b*c - a*b*d - a*c*d - 
        b*c*d - a*b*e - a*c*e - b*c*e - a*d*e - b*d*e - c*d*e - a*b*f - 
        a*c*f - b*c*f - a*d*f - b*d*f - c*d*f - a*e*f - b*e*f - c*e*f - 
        d*e*f - a*b*g - a*c*g - b*c*g - a*d*g - b*d*g - c*d*g - a*e*g - 
        b*e*g - c*e*g - d*e*g - a*f*g - b*f*g - c*f*g - d*f*g - e*f*g, 
       -d + a*b*c*d + a*b*c*e + a*b*d*e + a*c*d*e + b*c*d*e + a*b*c*f + 
        a*b*d*f + a*c*d*f + b*c*d*f + a*b*e*f + a*c*e*f + b*c*e*f + 
        a*d*e*f + b*d*e*f + c*d*e*f + a*b*c*g + a*b*d*g + a*c*d*g + 
        b*c*d*g + a*b*e*g + a*c*e*g + b*c*e*g + a*d*e*g + b*d*e*g + 
        c*d*e*g + a*b*f*g + a*c*f*g + b*c*f*g + a*d*f*g + b*d*f*g + 
        c*d*f*g + a*e*f*g + b*e*f*g + c*e*f*g + d*e*f*g, 
       -e - a*b*c*d*e - a*b*c*d*f - a*b*c*e*f - a*b*d*e*f - a*c*d*e*f - 
        b*c*d*e*f - a*b*c*d*g - a*b*c*e*g - a*b*d*e*g - a*c*d*e*g - 
        b*c*d*e*g - a*b*c*f*g - a*b*d*f*g - a*c*d*f*g - b*c*d*f*g - 
        a*b*e*f*g - a*c*e*f*g - b*c*e*f*g - a*d*e*f*g - b*d*e*f*g - 
        c*d*e*f*g, -f + a*b*c*d*e*f + a*b*c*d*e*g + a*b*c*d*f*g + 
        a*b*c*e*f*g + a*b*d*e*f*g + a*c*d*e*f*g + b*c*d*e*f*g, 
       -g - a*b*c*d*e*f*g);

o18 : Ideal of R

i19 : dim I

o19 = 0

i20 : degree I

o20 = 5040