Repaso: Demostrar por inducción el teorema de Nicomachus

Question

Por favor, ayúdame a revisar la forma en que escribí esta prueba:

Demostrar por inducción: $1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ con $n\geqslant1$

Prueba:

Definamos el conjunto, $S=\left \{n\in N:n\geqslant1, 1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \right \}$

Si $n=1$ entonces, $1\in S$

Supongamos que $k\in S$ con $k\geqslant1$ entonces

$\begin{gather*} 1^3+2^3+3^3+...+k^3=\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2\\ \end{gather*}$

Ahora vamos a probar que $k+1\in S$ ,

$\begin{align*}1^3+2^3+3^3+...+k^3+(k+1)^3=&\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2+(k+1)^3\\ =&(k+1)^2\left (\frac{k^2}{4}+(k+1)\right)\\=&(k+1)^2 \left(\frac{(k^2+4k+4)}{4} \right)\\ =&(k+1)^2 \left(\frac{(k+2)^2}{4}\right)\\ =&\left(\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right)^2 \end{align*}$

Lo cual es cierto.

Answer 1

Sí, la prueba me parece bien.