Si $Q$ es una matriz de transformación ortogonal adecuada, deducir que $\det(1-Q)=0$.

Question

Mostrar que si $Q$ es ortogonal de la matriz de transformación, a continuación, $Q^t(Q-1)=(1-Q)^t$. Deducir que si $Q$ es la correcta, a continuación, $\det(1-Q)=0$. Por lo tanto muestran que la transformación tiene un valor distinto de cero vector que tiene los mismos componentes en tanto sistema de coordenadas.

Traté de resolver este problema.Creo que tengo la primera parte de la derecha,

$$Q^t(Q -1)= Q^t Q- Q^t=1- Q^t=(1- Q)^t$$

La segunda parte,

$$-Q ^t(1-Q)=(1-Q)^t$$

$$\det(-Q^t)\det(1-Q)=\det((1-Q)^t$$

$$(-1)^n\det(Q)\det(1-Q)=\det((1-Q)^t)$$

desde el ortogonal de la matriz es adecuada lo que significa $\det(Q)=1$ y para cualquier matriz, su determinante es igual al determinante de su transpuesta.

$$(-1)^n\det(1-Q)=\det(1-Q)$$

Así, siempre es cierto para $\det(1-Q)=0$

Pero eso no es lo que pide la pregunta. Yo no he hecho álgebra lineal durante un tiempo y no estoy seguro de que a partir de los conceptos que he usado, así que yo estaría encantado si usted aclarar cualquier error que cometí.

Answer 1

Desde $Q$ satisface $Q^t(Q-1)=(1-Q)^t$, a continuación, $\det(Q)\det(Q-1)=\det(1-Q)=(-1)^n\det(Q-1)$, como se observa. Supongamos $\det(Q-1)$ es distinto de cero, entonces podemos dividir ambos lados por el que obtener las $\det Q=(-1)^n$. Si $n$ es impar, obtenemos una contradicción con el hecho de que $Q$ es adecuado.

La afirmación es falsa cuando $n$ es incluso. Considere la posibilidad de $\mathbb R^2$ e $Q=-1=\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}$. Tenemos $\det Q=1$, pero $\det(1-Q)=4\neq0$.

Para la última parte, debemos mostrar la existencia de $x$ en el espacio vectorial, de modo que $Qx=x$, es decir, uno de los autovalores de a$Q$ es $1$. Pero le acabo de hacer eso!