¿Hay alguna forma de integrar $\frac1{f(x)}$ en términos de la integral de $f(x)$?

Question

¿Hay alguna manera de encontrar \mathrm dx$$\int \frac1{f(x)}\mathrm dx$f(x)$ de $ in terms of $$, $\int f (x) y sus derivados?

Answer 1

En general, Nº $\int x\exp(-x)\mathrm dx$ es elemental, mientras que $\int \frac{\exp(x)}{x}\mathrm dx$ no es expresable en términos de funciones elementales.

Answer 2

Qué tal: $\int x \,dx$ está un polinomio, una función racional, una función algebraica, $\int dx/x$ ninguno de estos.

Answer 3

Como otros han dicho, la respuesta es no. Sin embargo, asumiendo $f$ es analítica y $f(x_0) \ne 0$, usted tiene una serie de Taylor para una antiderivada de $1/f(x)$ en un barrio de $x_0$, la cual puede ser expresada en términos de los valores de $f$ y sus derivados en $x_0$:

$$ \matriz{ \int \frac{dx}{f(x)} = C + \frac{x-x_0}{f(x_0)} - \frac{f'(x_0)}{2 f(x_0)^2} (x - x_0)^2 + \frac{2 f'(x_0)^2 - f"(x_0) f(x_0)}{6 f(x_0)^3} (x - x_0)^3 \cr + \frac{6 f"(x_0) f'(x_0) f(x_0) - f"'(x_0) f(x_0)^2 - 6 f'(x_0)^3}{24 f(x_0)^4} (x - x_0)^4 + \ldots\cr}$$