Probar$\it\Delta BAC$ es un triángulo isósceles en ángulo recto

Question

Supongamos que en la siguiente figura,$AD{/\!/}BC$,$BD=BC$,$CD=CE$,$ABCD$ es un trapezoide; $\measuredangle ABD=15°$

Demuestre que:$\it\Delta BAC$ es un triángulo isósceles en ángulo recto.

Answer 1

Deje $F$ la intersección de las líneas de $BA$ y $CD$, $\angle BCD= x$ y $BC=L$. Entonces $$\angle BFC= x-\frac{\pi}{12}. \tag{1}$$ Aplicar un poco de trigonometría, se obtiene: $$CD=2L\cos x \tag{2}$$ $$DE =4L(\cos x)^2 \tag{3} $$. Aplicando la regla del seno en el triángulo $DAE$ obtenemos: $$DA=\frac{4L(\cos x)^2\sin x}{-\sin(3x)} \tag{4} $$ La semejanza de triángulos $FDA$ $FCB$ produce: $$FD=\frac{2L\cdot DA \cos x}{L -DA} \tag{5}$$ Aplicando la regla del seno en el triángulo $FDB$ obtenemos: $$FD=\frac{L \sin(\frac{ \pi}{12})}{ \sin( x-\frac{ \pi}{12})} \tag{6}$$ El uso de $(4)$ y fabricación de $(5)$ $(6)$ igualdad, obtenemos: $$\sin(\frac{\pi}{12})(7-8(\sin x)^2)=-8(\cos x)^3\sin( x-\frac{ \pi}{12}) \tag{7}$$ Después de algunos trig relaciones, obtenemos: $$\tan(x-\frac{ \pi}{12})=\tan x (8(\sin x)^2-7)$$ La solución para $x$ obtenemos: $$x = \frac{5\pi}{12}$$ A partir de entonces es fácil concluir que el ángulo de $BAC$ es un ángulo recto y $\triangle ABC$ es isósceles.