Demostrar que $G=\langle a,b\; | \; abab^2=1\rangle$ es infinitamente cíclico.
Primero demostré que $a=(ab)^3$ y también $b=(ab)^{-2}$ .
Utilizando esto, he demostrado que $G$ es abeliano y $G=\langle ab\rangle$ .
Sin embargo, dado que el orden de $a$ y $b$ no se da, no tengo idea de probar el orden de $ab$ es infinito.
Usando su idea, defino $\phi:G\rightarrow \Bbb{Z}$ por $\phi(a^xb^y)=3x-2y$ . En particular, $\phi(ab)=1$ . Por tanto, es un homomorfismo suryectivo con núcleo $\langle a^2b^3 \rangle$ . Así que $\langle ab \rangle / \langle a^2 b^3 \rangle \cong \Bbb{Z}$ . ¿Es esto suficiente para decir que $G$ ¿es cíclico infinito?
@AlanWang: Has demostrado que es cíclico, y debe ser infinito ya que tiene una suryección al conjunto infinito. $\mathbb{Z}$ .
Sólo una cosa para asegurarse, si $G$ es cíclico y $G/H\cong \Bbb{Z}$ no hay forma de que $G$ ser finito ¿verdad?
Una vez que hayas probado $G$ es abeliano, se puede reinterpretar la presentación en términos de grupos abelianos. Primero, $G$ es isomorfo al cociente de $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} = \langle a \rangle \oplus \langle b \rangle$ modulo el subgrupo $\langle 2a+3b \rangle$ .
Desde $2a+3b$ es un elemento primitivo de $\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$ existe un automorfismo de $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ tomando $2a+3b$ a $a$ . Con poco problema se puede escribir un $2 \times 2$ matriz entera de determinante $1$ que representa este autoomorfismo.
Así que $G$ es isomorfo a $\langle a\rangle \oplus \langle b\rangle $ modulo $\langle a \rangle $ que evidentemente es infinitamente cíclico.
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No tiene por qué ser infinita. Mira $a = [3], b = [2] \in \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ . Entonces $abab^2 = [0]$ pero $G = \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ no es infinita.