¿Cómo puedo probar la siguiente identidad usando variables complejas $$ \begin{align*} 1) & \csc^2 \left( \frac{\pi}{7}\right)+\csc^2 \left( \frac{2\pi}{7}\right)+\csc^2 \left( \frac{4\pi}{7}\right)=8 \\ 2) & \tan^2 \left( \frac{\pi}{16}\right) + \tan^2\left( \frac{3\pi}{16}\right) + \tan^2\left( \frac{5\pi}{16}\right)+ \tan^2\left( \frac{7\pi}{16}\right) = 28 \end {align *} $$ En el problema anterior, me dieron,$\displaystyle (z+a)^{2m}-(z-a)^{2m}=4maz \prod_{k=1}^{m-1} \left(z^2+a^2 \cot^2 \left(\frac{k\pi}{2m} \right )\right ) $ para el entero$m>1$. No estoy seguro de si puedo usar esto es útil. Estoy perplejo por favor ayuda.
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$(1)$ El uso de este,
$\sin 7x=7s-56s^3+112s^5-64s^7$ donde $s=\sin x$
Si $\sin 7x=0,7x=n\pi$ donde $n$ es cualquier entero.
Por eso, $x=\frac{n\pi}7$ donde $n=0,1,2,3,4,5,6$
Así, las raíces de $7s-56s^3+112s^5-64s^7=0$ $\sin\frac{n\pi}7$ donde $n=0,1,2,\cdots 5,6$
Así, las raíces de $64s^6-112s^4+56s^2-7=0$ $\sin\frac{n\pi}7$ donde $n=1,2,\cdots 5,6$
Así, las raíces de $64t^3-112t^2+56t-7=0$ $\sin^2\frac{n\pi}7$ donde $n=1,2,4$ o $3,5,6$
Así, la ecuación cuyas raíces son $\csc^2\frac{n\pi}7$ donde $n=1,2,4$ o $3,5,6$ $64\frac1{t^3}-112\frac1{t^2}+56\frac1t-7=0\iff 7t^3-56t^2+112t-7=0$
Por eso, $\csc^2 \left( \frac{\pi}{7}\right)+\csc^2 \left( \frac{2\pi}{7}\right)+\csc^2 \left( \frac{4\pi}{7}\right)$ es la suma de las raíces de $=\frac{56}7=8$
$(2)$ $\cos2x=2c^2-1$ donde $c=\cos x$
$\cos4x=2\cos^22x-1=2(2c^2-1)^2-1=8c^4-8c^2+1$
Si $\cos4x=0,4x=(2m+1)\frac\pi2,x=\frac{(2m+1)\pi}8$ donde $m=1,2,3,4$
Así, la ecuación cuyas raíces son $\cos\frac{(2m+1)\pi}8$ donde $m=1,2,3,4$ $8c^4-8c^2+1=0$
Ahora, como $$\cos2u=\frac{1-\tan^2u}{1+\tan^2u}\implies cos\frac{(2r+1)\pi}8=\frac{1-\tan^2\frac{(2r+1)\pi}{16}}{1+\tan^2\frac{(2r+1)\pi}{16}}$$
Si $y=\tan^2\frac{(2r+1)\pi}{16},y=\frac{1-c}{1+c}\implies c=\frac{1-y}{1+y}$
Por eso, $8c^4-8c^2+1=0$ se convierte en $$8\left(\frac{1-y}{1+y}\right)^4-8\left(\frac{1-y}{1+y}\right)^2+1=0$$ whose roots are $y=\tan^2\frac{(2r+1)\pi}{16}$ where $r=1,2,3,4$
o, $$8(y-1)^4-8(y-1)^2(y+1)^2+(y+1)^4=0$$
En la simplificación que tenemos, $y^4-28y^3+52y^2-36y+1=0$
Por eso, $\sum_{1\le r\le4}\tan^2\frac{(2r+1)\pi}{16}=\frac{28}1$
Mark Brackett
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Las relaciones pueden ser generalizados como $$\color{blue}{\sum_{k=1}^{n-1} \csc^2 \left( \frac{k \pi}{2n-1} \right ) = \frac{2}{3} n(n-1)} \tag{a}$$ $$\color{green}{\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor } \tan^2 \left( \frac{(2k+1)\pi}{4n}\right ) = n (2n-1)} \tag{b}$$ Vamos a definir una función $$f(z) = (z+1)^{2n-1} - (z-1)^{2n-1} \tag{1}$$ Puesto que el $(1)$ es una función en $2n-2$, $2n-2$ raíces. Así, vamos a calcular las raíces de $(1)$ mediante el establecimiento $f(z)$ a cero. $$f(z) = (z+1)^{2n-1} - (z-1)^{2n-1} = 0 \\ \mathrm{o } \left(\frac{z+a}{z}\right)^{2n-1} = 1 \etiqueta{2}$$
Vamos, $\omega$ $(2n-1)^{th}$ raíz de la unidad, a continuación, obtenemos $$\frac{z+1}{z-1} = \omega^k \, , 1\le k \le 2n-2 \tag{3}$$
Tenga en cuenta que $\omega^{2m-1} = 1$ no es la raíz de $(1)$. La solución de $(3)$, obtenemos, $$z = - \left( \frac{ 1 + \omega^k}{1-\omega^k} \right )\, , 1\le k \le 2n-2 \tag{4}$$
Sobre la simplificación, obtenemos \begin{align*} z &= -\left ( \frac{ 1 + \cos \left( \frac{2\pi k}{2n-1} \right )+i\sin \left( \frac{2\pi k}{2n-1} \right )}{ 1 - \cos \left( \frac{2\pi k}{2n-1} \right )-i\sin \left( \frac{2\pi k}{2n-1} \right )} \right )\\ &= -\, i \cot\left( \frac{\pi k}{2n-1} \right ) \, , 1\le k \le 2n-2 \tag{5} \end{align*}
Por lo tanto las raíces de $(1)$ se dan por $(5)$. Usando de nuevo el teorema fundamental del álgebra, $(1)$ puede ser escrita como, \begin{align*} f(z) &= 2 \binom{2n-1}{1} \prod_{k=1}^{2n-2} \left(z+ i \cot\left( \frac{\pi k}{2n-1} \right ) \right ) \\ &= 2 (2n-1) \prod_{k=1}^{n-1} \left(z+ i\cot\left( \frac{\pi k}{2n-1} \right ) \right )\prod_{k=n}^{2n-2} \left(z- i \cot\left( \frac{ \pi (2n - 1 - k)}{2n-1} \right ) \right )\\ &= 2 (2n-1) \prod_{k=1}^{n-1} \left(z+ i \cot\left( \frac{\pi k}{2n-1} \right ) \right )\prod_{k=1}^{n-1} \left(z- i \cot\left( \frac{ \pi k }{2n-1} \right ) \right ) \\ &= 2 (2n-1) \prod_{k=1}^{n-1} \left(z^2+ \cot^2\left( \frac{\pi k}{2n-1} \right ) \right ) \tag{6} \end{align*}
Binomial la expansión de la $(1)$, obtenemos \begin{align*} 2(2n-1) \prod_{k=1}^{n-1} \left(z^2+ \cot^2\left( \frac{\pi k}{2n-1} \right ) \right ) &= \sum_{k=0}^{2n-1} \binom{2n-1}{k} z^{2n-1-k} (1 - (-1)^k)\\ &= 2 \sum_{k=0}^{n-1} \binom{2n-1}{2k+1} z^{2n-2k-2} \tag{7}\\ \end{align*}
La comparación de los coeficientes de $z^{2n-4}$ $(7)$ somos, $$2 (2n-1) \sum_{k=1}^{n-1} \cot ^2 \left( \frac{ \pi k}{2n-1 } \right ) = 2 \binom{2n-1}{2n-4}$$
O, lo que da el resultado. $$ \boxed{ \large \color{red} {\sum_{k=1}^{n-1} \cot ^2 \left( \frac{ \pi k}{2n-1 } \right ) = \frac{(2n-2)(2n-3)}{6}}} \tag{8}$$
La ecuación de $(8)$ da $$\color{blue}{\sum_{k=1}^{n-1} \csc^2 \left( \frac{k \pi}{2n-1} \right ) = \frac{2}{3} n(n-1)} \tag{9}$$
Del mismo modo, nos encontramos con $$\displaystyle (z+1)^{2n}-(z-1)^{2n}=4nz \prod_{k=1}^{n-1} \left(z^2+ \cot^2 \left(\frac{k\pi}{2n} \right )\right ) \tag{10}$$
La comparación de los coeficientes de $z^{2n-3}$ encontramos la relación que $$2 \binom{2n}{2n-3} = 4n \sum_{k=1}^{n-1} \cot^{2} \left( \frac{\pi k}{2n} \right ) \\ \mathrm{o } \sum_{k=1}^{n-1} \cot^{2} \left( \frac{\pi k}{2n} \right ) = \frac{(2n-1)(2n-2)}{6} \etiqueta{11} $$
El cambio de $n\to 2n $ y restando $(11)$ somos, $$\boxed{\color{green}{\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor } \cot^2 \left( \frac{(2k+1)\pi}{4n}\right ) = \sum_{k=1}^{2n-1}\cot^2\left( \frac{k \pi}{4n} \right ) - \sum_{k=1}^{n-1}\cot^2\left( \frac{k \pi}{2n} \right ) = n (2n-1)}} \tag{12}$$
Cambiando $z \to \frac{\pi}{2}-z$, podemos obtener el resultado requerido.
