Movimiento del cuerpo rígido en el modelo de disco Poincare del plano hiperbólico

Question

Me gustaría implementar una simulación interactiva de un actor controlada por el usuario que se mueve en el disco de Poincaré modelo del plano hiperbólico.

Necesito saber cómo realizar la traslación y la rotación del disco de Poincaré. Si yo representan puntos como regular Euclidiana puntos en el círculo unidad, creo que hiperbólico de traslación y rotación, entonces sería transformaciones de Möbius si usted piensa de los puntos como los números complejos. Es esto correcto? Si no lo es una mejor manera de realizar la traslación y la rotación.

Suponiendo que las transformaciones de Möbius son el enfoque correcto, sin embargo, soy incapaz de encontrar definido en cualquier lugar cómo las traslaciones y rotaciones corresponden a determinadas transformaciones de Möbius. Alguien puede aclarar esto para mí? Estoy buscando para funciones de variables complejas que corresponden a "traducir z en la dirección d en el plano hiperbólico representado como el círculo unitario" y "rotar z alrededor de c $\theta$ sobre el plano hiperbólico representado como el círculo unidad"

Answer 1

Sí, de la orientación de la preservación de cuerpo rígido de los movimientos en el disco de Poincaré son transformaciones de Möbius, que fijan la unidad de disco. Una hiperbólica de la traducción a lo largo del eje real por una distancia de $x\in\mathbb R$ puede ser expresado como

$$\begin{pmatrix}e^x+1 & e^x-1 \\ e^x-1 & e^x+1\end{pmatrix}$$

Una rotación por un ángulo de $\varphi\in\mathbb R$ alrededor del origen, puede ser expresado como

$$\begin{pmatrix}e^{i\varphi} & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$$

Todas las otras rotaciones y traslaciones puede estar compuesta de estos.

La formulación de una transformación de Möbius como una matriz se basa en la visión de la Poincaré disco como parte de la real proyectiva línea, $\mathbb C\mathrm P^1$. Si prefieres las fracciones, se puede traducir de la siguiente manera:

\begin{align*} \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}z\\1\end{pmatrix} &\mapsto\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix} \sim\begin{pmatrix}\tfrac pq\\1\end{pmatrix} y \text{corresponde a}\qquad z\mapsto\frac{az+b}{cz+d} \end{align*}