Mostrando las propiedades de Legendre

Question

He resuelto las partes (a) y (b), pero no sé cómo usar esto para resolver (c)

(a) deje$\ell>1$ un entero impar. Mostrar $\displaystyle (\ell-1)!=2^{\frac{\ell-1}{2}}\left(\frac{\ell-1}{2}\right)!\left(1\cdot3\cdot...\cdot\ell-2\right)$
(b) deje que$\ell>1$ sea un entero impar. muestra que el mod$\ell$,$$ \left\{-a: 0 < a \leq \frac{\ell-1}{2} \ | \ \mbox{$ a$ is odd} \right\}\ = \ \left\{ b: \frac{\ell-1}{2} < b \leq \ell-1 \ | \ \mbox{$ b$ is even}\right\}$$ and have cardinality $ \ lfloor \ frac {l-1} {4} \ rfloor +1 $.

(c) Concluya de las partes anteriores que si$\ell>0$ es un entero impar, entonces:$$(\ell-1)! \equiv 2^{\frac{\ell-1}{2}} (\ell-1)! (-1)^{\left \lfloor \frac{\ell-3}{4} \right\rfloor +1} \pmod{\ell}$ $

Answer 1

Sabemos que :

(a) por $l>1$ entero impar => $(l-1)! = 2^{\frac{l-1}{2}} *(\frac{l-1}{2})!*(1*3*\cdots * l-2)$

(b) por $l>1$ entero impar => si $0 <a \leq \frac{l-1}{2}$ entero impar, entonces para algunos $b$ a y $\frac{l-1}{2} < b \leq l-1$ tenemos que $-a=b$.

a partir de (a) tenemos que $(l-1)! = 2^{\frac{l-1}{2}} *(\frac{l-1}{2})!*(1*3*\cdots * l-2)$ e de $(b)$ tenemos que $(1*3*5*\cdots *\frac{l-1}{2})$ si $\frac{l-1}{2}$ es entero impar y sin $\frac{l-1}{2}$ si incluso es igual para todos los números pares mayores que $\frac{l-1}{2}$ y desde que el producto se incluyen los números enteros impares que son más grandes que las $\frac{l-1}{2}$ entonces tenemos el producto de todos los enteros mayores que $\frac{l-1}{2}$ hasta $l-1$ multiplicado por $(\frac{l-1}{2})!$ llegamos a $(l-1)!$.

Ahora llegamos a $(l-1)!=2^{\frac{l-1}{2}} (l-1)!$ pero recuerda que a veces $\frac{l-1}{2}$ es incluso y a veces es impar,se debe multiplicar por $(-1)*(-1)*\cdots *(-1)$ porque hemos cambiado el más pequeño de números enteros impares a más, incluso entero usando (b) (modulo $l$) pero yo a la izquierda el signo menos que ahora voy a volver a ella.

Al $\frac{l-1}{2}$ es aún tenemos $-1$ a la potencia $\frac{l-1}{4}$ Y Al$\frac{l-1}{2}$ es impar tenemos $-1$ a la potencia $\frac{l+1}{4}$

El uso de la $\mod 4$ a deducir que uno puede combinarlos en $(-1)^{\frac{l-3}{4}}$.

Así completar la prueba.