Supongamos que tenemos un modelo$y=\beta_0+u$, donde$E(u)=0$ y$Var(u)=\sigma^2$. Obtengo que el estimador imparcial$\hat\beta_0$ es solo$\bar y$. Pero, ¿cómo puedo obtener la varianza de$\hat\beta_0$? ¿Es correcto afirmar que el$Var(\hat\beta_0)=Var(\bar y)=\frac{\sigma^2}{n}$, que se indica en el libro?
Respuesta
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Sí, usted puede aplicar directamente (seguro que es una exageración para este problema, como la varianza de la media muestral puede ser derivado de la forma más directa, pero puede ayudar a ver de que quepa en el marco de la regresión lineal) OLS fórmula para la varianza de los coeficientes de regresión: $$ Var(\hat\beta)=\sigma^2(X X)^{-1} $$ Ahora, si sólo tiene una constante en la regresión, asociada con el coeficiente de $\beta_0$ (imaginar un 1 junto a $\beta_0$), $X$ es sólo una columna de $1$s, por lo que $$ X X=(1,\ldots,1)\begin{pmatrix}1\\\vdots\\1\end{pmatrix}=n $$ así que $$ \sigma^2(X X)^{-1}=\frac{\sigma^2}{n} $$
