¿Integral incorrecto en el libro de texto?

Question

Vi esta integral en mi libro de texto. ¿Esto es incorrecto? ¿No debería ser$-\lambda e^{-\lambda s}$ ya que la integral de$e^{-\lambda s}$ es$-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda s}$

\begin{align*} f_S(s) &=\lambda^2\int_0^se^{-\lambda s}\,dt\\ &=\lambda^2se^{-\lambda s} \end{align*}

Imagen.

Answer 1

La integral es con respecto a$t$, no a$s$. Entonces,$\mathsf e^{-\lambda s}$ es relativamente constante a$t$.

$$ \begin{align} f(s) & = \lambda^2\int_0^s \mathsf e^{-\lambda s}\operatorname d t \\[1ex] & = \lambda^2 ~\mathsf e^{-\lambda s}\int_0^s \operatorname d t \\[1ex] & = \lambda^2 ~\mathsf e^{-\lambda s}~(s-0)\\[1ex] & = \lambda^2 ~s ~\mathsf e^{-\lambda s} \end {align} $$

Answer 2

$$ \ lambda ^ 2 \ int_0 ^ se ^ {- \ lambda s} \, dt = \ lambda ^ 2e ^ {- \ lambda s} \ int_0 ^ s \, dt = \ lambda ^ 2e ^ {- \ lambda s } \ big [t \ big] \ bigg | _0 ^ s = \ lambda ^ 2e ^ {- \ lambda s} s = \ lambda ^ 2 se ^ {- \ lambda s}. $$