Convergencia de una secuencia de matrices complejas.

Question

Supongamos que$A \in \mathcal M_n(\mathbb C)$ es una matriz compleja de tal manera que la secuencia$(A^p)_{p \in \mathbb N}$ está delimitada.

Denotar$$B_p = \frac{1}{p} \sum_{0 \le k \le p-1} A^k$ $

¿Cómo probar que la secuencia$(B^p)_{p \in \mathbb N}$ converge hacia una matriz$B$ de un proyector?

Puedo notar que$B_p(I_n- A)= \frac{1}{p} (I_n-A^p)$ y, por lo tanto, que la secuencia$(B_p(I_n-A))_{p \in \mathbb N}$ converge a$0$ ... Pero no mucho más que eso.

Answer 1

$A$ está limitado por el poder. Por lo tanto, todos sus valores propios tienen módulos$\le1$ y si$1$ es un valor propio, debe ser semisimple. Entonces, podemos escribir$\mathbb R^n=V\oplus W$, donde$V,W$ son subespacios invariables de$A$ y$V$ es el espacio inicial de$A$ correspondiente al valor propio$1$ ($V=0$ si$1$ no es un valor propio).

Entonces,$B_p|_V=id|_V$ (el mapa de identidad en$V$) y$B_p=\frac1p(id-A)^{-1}(I-A^p)$ en$W$. Tomando$p$ hasta el infinito, obtenemos$B_p\to id|_V$, es decir,$B_p$ converge al mapa de proyección en$V$.