Demostrar que $\int_0^1f'(x)dx \leq f(1) - f(0)$ .

Question

Dejemos que $f(x)$ sea una función no decreciente sobre $[0, 1].$ Puede suponer que $f$ es diferenciable en casi todas partes. Demostrar que

$\int_0^1f'(x)dx \leq f(1) - f(0)$ .

Me resulta difícil responder a esta pregunta. Obviamente sabemos que $f$ es continua. Se parece mucho a la continuidad absoluta.

Gracias por cualquier ayuda

Answer 1

De forma más general, es válido para $f$ una función no decreciente sobre $[a,b]$ ( $f$ es entonces diferenciable a.e. en $[a,b]$ ):

Para $x>b$ , dejemos que $f(x)=f(b)$ .

Para cada $n$ , dejemos que $$f_n(x)={f(x+1/n)-f(x)\over 1/n}.$$

Tenga en cuenta que $$\eqalign{ \int_a^b f_n(x)\,dx&=n\int_b^{b+1/n} f(x)-n\int_a^{a+1/n}f(x)\,dx\cr &\le n\int_b^{b+1/n} f(b )\,dx-n\int_a^{a+1/n}f(a)\,dx\cr &= f(b)-f(a). } $$

Ahora, utilice este resultado, el hecho de que la secuencia $(f_n)$ de funciones no negativas converge a $f'$ en casi todas partes, y el Lemma de Fatou.