Si el adjunto de un operador está limitado, ¿el operador también?

Question

Deje que$X$ y$Y$ sean espacios vectoriales normados. Sea$T: X \to Y$ un operador lineal. Deje que$T^* : Y^* \to X^*$ sea el adjunto de$T$ definido por$T^*(f) =f \cdot T$. Demuestre que si$T^*$ está limitado, entonces$T$ está limitado.

Sé que lo contrario de esta afirmación es cierta, pero no estoy seguro de esta dirección. Si no es verdad, me pregunto si hay alguna hipótesis adicional que la haga verdadera.

Answer 1

Para cualquier$x\in X$ y$\phi\in Y^*$, tenemos $$|T^*\phi(x)|=|\phi(Tx)|\leq\|\phi\|\|T\|\|x\|.$ $ Se deduce que$$ \|T^*\phi\|\leq\|\phi\|\|T\|, así, por definición de la norma del operador, tenemos $$\|T^*\|\leq \|T\|.$ $ De manera similar, tenemos$$ \|T^{**}\|\leq\|T^*\|, donde$T^{**}:X^{**}\to Y^{**}$ es el operador adjunto de$T^*$. Ahora dejemos que$J_X:X\to X^{**}$ sea la isometría canónica dada por $$(J_Xx)(\psi)=\psi(x),\quad\forall x\in X,\psi\in X^*.$ $ Luego, para cualquier$x\in X, \phi\in Y^*$ tenemos$$ (T^{**}(J_Xx))(\phi)=(J_Xx)(T^*\phi)=(T^*\phi)(x)=\phi(Tx)=(J_Y(Tx))(\phi). Sigue que $$|J_Y(Tx)(\phi)|\leq \|T^{**}\|\|J_Xx\|\|\phi\|=\|T^{**}\|\|x\|\|\phi\|,$ $ por lo tanto$$ \|T^{**}\|\|x\|\geq \|J_Y(Tx)\|=\|Tx\|, y, por lo tanto, $$\|T^{**}\|\geq\|T\|.$ $ En consecuencia, tenemos$$ \|T\|\leq\|T^*\|, lo que significa que$T$ está delimitado. De hecho podemos ver que$\|T\|=\|T^*\|$.

Answer 2

Dejar $x \in X$. Como consecuencia del Teorema de Hahn-Banach tenemos:

$(*)$$||Tx||= \sup\{|f(Tx)|: f \in Y^*, ||f||=1\}$.

Para$f \in Y^* with ||f||=1$ tenemos, ya que$T^*$ está delimitado:

$|f(Tx)|=|(T^*f)(x)| \le ||T^*f||*||x|| \le ||T^*||*||f||*||x||=||T^*||*||x||$.

Esto y$(*)$ muestran ahora que

$||Tx|| \le ||T^*||*||x||$.