Problemas con los textos

Question

Cuando doy clases particulares, a menudo veo a personas que conocen más o menos el material que cubren en la escuela en ese momento y tienen éxito en problemas directos como:

Encuentre la derivada de $f(x) = \frac 12 x^2$

Pero cuando se trata de problemas de texto, les cuesta arrancar con el problema.

Una colina que se puede modelar con una parábola como $f(x) = \frac 12 x^2$ . Alguien quiere subir esa colina, pero no puede hacer frente a pendientes superiores al 10%. ¿Hasta qué punto puede caminar esa persona?

Mi problema es que no estoy muy seguro de cuál es su problema. Cuando les pregunto qué es la derivada, pueden decírmelo. Si les pregunto qué es la tangente, también lo saben. Pero, de alguna manera, no pueden resolver este problema.

Cuando resuelvo este tipo de problemas, empiezo con "¿Qué sé?", luego "¿Qué significa eso en las definiciones matemáticas?" y después intento pensar en cómo tiene que ser el resultado. Entonces, los pasos intermedios se rellenan fácilmente.

¿Cómo puedo enseñar a la gente este "arte de resolver problemas" general y difuso?

Answer 1

Una idea es carga cognitiva . El alumno sabe lo suficiente para establecer cualquier pieza particular del problema, pero tiene problemas para hacer malabares con todo cuando hay demasiados componentes. Creo que los problemas de palabras tienen una mayor carga cognitiva que los problemas de ejercicios porque el lector tiene que leerlo todo y mantener varias ideas en su cabeza a la vez antes de empezar a sintetizar una respuesta. Esto está relacionado con ansiedad por las matemáticas donde, en cierto sentido, las propias percepciones negativas del alumno sobre las matemáticas y su capacidad para hacerlas empiezan a drenar la energía cognitiva. Estoy de acuerdo con Krishnakanth en que este problema se ha visto agravado por el sistema educativo de algunos lugares, que enseña las matemáticas como una lista de recetas a seguir y no hace hincapié en los aspectos analíticos y de pensamiento crítico.

Answer 2

Para este caso en particular: Podemos entender que la definición de una pendiente del 10% es matemáticamente obvia.

Pero, al expresarlo en estos términos naturales del idioma inglés, podría dar la impresión a los estudiantes de que necesitan conocimientos externos (independientemente de que realmente los necesiten).

Es posible que los alumnos sepan que "10% de pendiente" tiene un significado concreto en inglés, por haberlo visto en las señales de tráfico, pero probablemente no lo hayan asociado directamente a un significado matemático. Ésta podría ser una de las fuentes de su confusión. Cuando veo el 10% en inglés natural, no pienso inmediatamente en cómo se convierte en un decimal, por ejemplo.

De manera más general: Muchas palabras tienen un significado ligeramente diferente en el inglés natural y en el lenguaje matemático, incluida la propia "pendiente". Los alumnos suelen entender (y correctamente) que tienen que manejar su uso del lenguaje matemático con mucho cuidado. Al formular una pregunta utilizando el lenguaje natural, este vínculo con la precisión puede romperse y confundir a los alumnos.

Puede que los estudiantes no tengan claro cómo interpretar una pregunta que está en parte en lenguaje matemático y en parte en inglés natural. Tampoco ayuda que las preguntas escritas en lenguaje natural estén a veces mal redactadas. Es posible que los alumnos hayan desarrollado un miedo a estas preguntas porque su comprensión de la realidad de la situación no coincide con sus propios conocimientos matemáticos internos.

De hecho, puede haber una disociación entre las cuestiones matemáticas y la realidad real. Quienes formulan las preguntas tienden a insertar las matemáticas en situaciones "reales" a las que no pertenecen (o no se aplican exactamente de forma correcta). En realidad, según tengo entendido, sería poco probable y poco práctico modelar una colina como una parábola. Aparte del aparente error de signo, una colina es tridimensional y una pendiente puede superarse con siguiendo un ascenso en zigzag en diagonal . Se trata (quizás) de una pregunta poco natural y artificiosa, formulada en un lenguaje natural y en un contexto que los alumnos desconocen. Esto podría ser una fuente más de confusión.

Creo que interpretar (y escribir) preguntas en lenguaje natural es una habilidad difícil que hay que aprender (y enseñar). Creo que todos los matemáticos se encuentran con situaciones en las que, de repente, se han dado cuenta de cómo se puede utilizar una determinada habilidad en una situación desconocida o sorprendente; está claro que esto puede ocurrir con más frecuencia a los estudiantes noveles.

Para responder a su pregunta:

Creo que podría ayudar a los estudiantes enseñando esto específicamente:

Cuando resuelvo este tipo de problemas empiezo por "¿Qué sé?", y luego "¿Qué significa eso en definiciones matemáticas?".

Interpretar un enunciado en inglés no es sencillo, y los estudiantes se beneficiarían de aprender a hacerlo. Explicar tú mismo cómo lo haces es una buena idea.

Answer 3

Esta es una pregunta muy interesante. Por un lado, se nos dice que tenemos que hacer las matemáticas más interesantes relacionándolas con la vida real, como en tu pregunta de ejemplo, pero por otro lado, hacerlo crea la pesada carga cognitiva a la que se refiere Jim Conant. Para tratar de responder a la pregunta en lugar de limitarse a discutir este tema, estos chicos sugieren que mostrar ejemplos trabajados puede disminuir la carga y ayudar a los estudiantes a aprender a resolver problemas similares. Y ya que se menciona la resolución de problemas, hay Polya o John Mason . (Olvidé la fuente ahora y no puedo localizarla, pero recuerdo haber leído una cita de un profesor de resolución de problemas que decía que su enfoque era dar a sus alumnos problemas y no decirles la respuesta).

Answer 4

Cuando daba clases particulares de álgebra en un colegio comunitario, uno de los mayores retos que encontraban los estudiantes era el pensamiento abstracto necesario para resolver problemas de palabras. Tal y como describes, los estudiantes no tenían problemas con la mecánica de las matemáticas, pero tropezaban cuando se les pedía que pasaran de las abstracciones presentes en las matemáticas a las realidades concretas de los problemas. Entonces, ¿qué hacer al respecto?

Mi enfoque fue tratar de explicar explícitamente el concepto de abstracción. Que las matemáticas son una representación de una realidad que queremos explicar. Esto lo haría inicialmente fuera del concepto de matemáticas. Un enfoque típico podría ser:

1. Pide al alumno que dibuje un árbol. (esto suele dar lugar a la típica representación de un árbol tipo piruleta)

2. Pídeles que expliquen por qué su dibujo representa un árbol. (Durante este debate intento que identifiquen la "aridez" que hace que un árbol sea un árbol, por ejemplo, las hojas y el tronco)

3. Una vez que hayamos identificado que un árbol puede ser representado por hojas y un tronco, pídeles que simplifiquen y generalicen (es decir, abstraigan) su dibujo aún más (al final de esto solemos terminar con un círculo sobre un rectángulo que representa un árbol abstracto)

4. Dependiendo de lo bien que lo esté entendiendo el alumno, podemos pasar por unos cuantos ejemplos más (por ejemplo, un coche, una casa, etc...) hasta que tenga sentido que la realidad se pueda abstraer identificando los componentes esenciales.

5. A continuación, introduzco las matemáticas como un método similar para simplificar y representar la complejidad de la realidad. Dependiendo de la experiencia de los alumnos, podría partir del ejemplo del árbol para mostrar que el árbol abstracto podría representarse mediante el diámetro del círculo de "hojas" y la altura del tronco.

6. Por último, intento mostrar cómo al abstraer la realidad con las matemáticas podemos usar las herramientas de las matemáticas para hacer y responder preguntas.

La clave, según mi experiencia, es conseguir que practiquen el pensamiento abstracto como una habilidad independiente de la mecánica de resolución de los problemas matemáticos.

Answer 5

El problema radica en el sistema educativo, estamos alimentando a los estudiantes con fragmentos y esperamos que conecten los puntos... Recuerdo que en la escuela las derivadas eran sólo eso, derivadas... más tarde descubrí que una derivada significa el cambio en una función basado en los cambios de entrada... eso es sólo un ejemplo... Por lo tanto, sugiero que nuestra metodología para educar a los estudiantes debería cambiar de proporcionar fórmulas y teorías a hacerles entender el significado de las fórmulas y el uso práctico de las mismas... En mi opinión, hacer que se den cuenta de cómo se puede utilizar en la vida real, sería la mejor manera de enseñar...