¿Son todos los triángulos isósceles?

Question

Hay un lugar que participan (y se dice, bien conocido) prueba que muestra que todos los triángulos son isósceles (puede ser encontrado en Euclidiana y no Euclidiana geometría - Marvin Jay Greenberg, la parte inferior de la página. 23) - pero, por desgracia, después de estudiar, me parece no puede encontrar la falla en el argumento. Su ayuda sería muy apreciada. Que dice:

Dado el triángulo ABC. Construcción de la bisectriz del ángulo a y la mediatriz del lado BC opuesto al ángulo A. consideremos Ahora los diversos casos (hay diagramas dado en el libro).

Caso 1: La bisectriz del ángulo a y la mediatriz del segmento BC son paralelos o idénticos. En cualquier caso, la bisectriz del ángulo a es perpendicular a BC y, por lo tanto, por definición, es una de altitud. Por lo tanto, el triángulo es isósceles (La conclusión se deduce de la distancia Euclídea teorema que establece que: si una bisectriz de un ángulo y la altura desde el mismo vértice de un triángulo coinciden, el triángulo es isósceles.)

Supongamos ahora que la bisectriz del ángulo a y la mediatriz del lado opuesto no son paralelas y no coinciden. A continuación, se cruzan en exactamente un punto, D, y hay 3 casos a considerar:

Caso 2: El punto D está en el interior del triángulo Caso 3: El punto D está en el triángulo Caso 4: El punto D está fuera del triángulo

Para cada caso, la construcción DE la perpendicular a AB y en el DF, perpendicular a AC, y para los casos 2 y 4 de unirse a D a B y D a C. En cada caso la siguiente prueba ahora tiene:

(No tengo el símbolo apropiado para la congruencia en mi teclado por eso voy a usar '=' para significar la congruencia.)

DE = DF porque todos los puntos en un ángulo bisectriz equidistan de los lados del ángulo

DA = DA, y el ángulo de la DEA y el ángulo de la DFA son ángulos rectos

Por lo tanto el triángulo ADE es congruente con el triángulo ADF por la hipotenusa de la pierna teorema de la Geometría Euclidiana. Por lo tanto, hemos AE = AF.

Ahora, DB = DC porque todos los puntos de la mediatriz de un segmento son equidistantes de los extremos del segmento.

También, DE = DF, y el ángulo DEB y el ángulo DFC son ángulos rectos.

Por lo tanto, el triángulo DEB es congruente con el triángulo DFC por la hipotenusa de la pierna teorema, y por lo tanto, FC = SER.

De ello se desprende que AB = AC, en los casos 2 y 3 por otra parte, y en el caso 4 de la resta. El triángulo es, por tanto, isósceles.

QED

Answer 1

Observando primero que esta supuesta prueba de realidad "prueba" que cada triángulo es equilátero porque no se distingue en el vértice de partida. Doy lo que me parece como un error en una "prueba".

Tratamos el caso de $4$ para que el punto de $D$ está fuera del triángulo. Deje $A'$ ser el punto en el que la bisectriz del ángulo $A$ corta el lado de la $BC$ y deje $M$ ser el punto medio de la $BC$.

Suponiendo $|\overline {BA'}|\lt|\overline{BM}|$. En este caso, el punto de $F$ debe estar en el interior de los laterales de $AC$ mientras $E$ debe ser fuera de $AB$. Es cierto que $|\overline {AE}|=|\overline{AF}|$ sin embargo, debido a la posición relativa de los puntos de $E$ $F$ en los lados $AB$ $AC$ respectivamente, $|\overline {AE}|\gt|\overline{AB}|$ mientras $|\overline {AF}|\lt|\overline{AC}|$.Esto demuestra que los lados $AB$ $AC$ no tienen igual longitud (por lo que cualquier argumento de demostrar lo contrario, es false). Es cierto también que los triángulos $\triangle DEB$ $\triangle DFC$ son congruentes, sin embargo, en el caso de $4$ al menos (tal vez en los cuatro casos supongo) no es cuestión de sólo resta pero tanto la suma y la resta.

La falla en el argumento (que se refiere al caso $4$) se han considerado sólo resta por ambos lados en lugar de la suma para un lado y la resta para los otros.

En la siguiente figura nos da una facilidad de caso ilustrativo con el de Pitágoras a un Triángulo de lados $3,4$ $5$ para que la bisectriz del ángulo recto es simplemente la diagonal $y=x$.