Poder trivial de haz de linea

Question

Estoy tratando de comprender lo siguiente:

El pensamiento de una línea de paquete como un montón de local la generación de secciones junto con la transición de las funciones (que en este caso son sólo la multiplicación por las secciones locales de la estructura de la gavilla) me pregunto lo que significa que algunos de potencia de una línea de paquete es trivial. Supongo que un ejemplo con $N>1$ podría responder a mi pregunta.

Gracias.

Answer 1

Ejemplo. Si $(E,O)$ es una curva elíptica sobre un algebraicamente cerrado campo de $K$, entonces sabemos que el natural mapa $$\begin{align*} E(K) &\to \operatorname{Pic}^0(E) \\ P &\mapsto \mathcal O_E(P - O) \end{align*}$$ es un isomorfismo de grupos. Por lo tanto, si $P$ es un punto de torsión de $E$ (que siempre existen: por ejemplo, durante la $\mathbb C$ el grupo $E(\mathbb C)$ es un complejo de torus $\mathbb C/\Lambda$ $\Lambda \subseteq \mathbb C$ un entramado, de manera que las mitades de celosía puntos de darle a $2$-torsión de los elementos), a continuación, $\mathcal O_E(P - O)$ $n$- torsión de la línea de paquete.

Observación. Si $A$ es un abelian variedad de más de $K = \bar {\mathbb F}_p$, entonces cada punto de $A$ es de torsión. Esto se deduce porque cualquier punto de $P \in A(K)$ está definido sobre un campo finito $\mathbb F_q$, y el grupo de $A(\mathbb F_q)$ es finito.

En particular, la aplicación de esta a $\operatorname{Pic}^0(X)$ para cualquier liso variedad proyectiva $X$ muestra que cada línea de paquete racionalmente equivalente a $\mathcal O_X$ sobre una suave variedad proyectiva (la clausura algebraica de un campo finito es de torsión. Es de suponer que la cita se dio utiliza una variante de esta declaración, para las variedades más $\mathbb Z/p^n\mathbb Z$.

Comentario 1 (gracias a Alex Youcis). Yo, por supuesto, tiene que asumir algo como $\mathscr L$ racionalmente es equivalente a $\mathcal O_X$, porque de lo contrario el resultado que yo reclamo es claramente falso: pensar, por ejemplo, acerca de la $\mathcal O_{\mathbb P^n}(1)$.

Observación 2. Porque Alex Youcis preguntó: la declaración precisa sobre la representabilidad de $\operatorname{Pic}^0_X$ planos proyectivos $X \to \operatorname{Spec} \mathbb Z/p^n\mathbb Z$ con geométricamente integral de las fibras está probado en la FGA Explicó, el Teorema de 9.4.8. Pero esta es, probablemente, mucho más allá del tipo de material que el OP es cómodo.

Cuento corto: se trabaja también sobre $\mathbb Z/p^n\mathbb Z$, pero mi prueba es bastante elaborada. Podría ser mucho más fácil argumento de que no me he enterado, pero esta es la respuesta estándar que la mayoría de los algebraica de los geómetras se tire.

Answer 2

Esto se entiende como un complemento a Remy agradable respuesta.

La primera topológico ejemplo es el de Möbius bundle $L$ $S^1$ - la transición de las funciones puede ser tomado como multiplcation por $1$$-1$. Cuadrado una línea de paquete de cuadrados de los mapas de transición, por lo $L^{\otimes 2}$ es trivial. Creo que es posible hacer una algebraicas versión de este ejemplo siguiendo el ejemplo de ejemplo (4) en la página 22 de este libro.

También hay algebraicas ejemplos en 6.5.1 de Hartshorne: si usted toma $U = \mathbb P^n \setminus C$ donde $C$ es el ajuste a cero de un grado $d$ homogéneo polinomio, entonces la línea bundle $L$ $U$ correspondiente a la hyperplane divisor de $C$ tienen $L^{\otimes d}$ trivial.

Por ejemplo, en $\mathbb P^2$ deje $C = V(x^3 + y^3 + z^3)$ y tomar la línea bundle $L$ $U$ correspondiente a la hyperplane $x=0$, dicen. A continuación, $L^{\otimes 3}$ será trivial, esencialmente debido a la existencia de los definidos globalmente función regular $\frac{x^3}{x^3+y^3+z^3}$, mientras que el $L^{\otimes 2}$ va a ser no trivial (no hay definidos globalmente regular la función de la forma $\frac{x^2}{p}$).

También, en esta pregunta se observó que para el normal variedades proyectivas $\mathbb C$ existe una torsión de la línea de paquete si y sólo si $H_1(X,\mathbb Z)$ es distinto de cero, por lo que son bastante comunes.

Answer 3

Solo una pequeña observación, complementando las dos buenas respuestas que ya existen.

Uno puede pensar de torsión en $\mathrm{Pic}(X)$ como detectar la no-trivial, clases en grupo fundamental de la $X$. Más rigurosamente, estoy pensando en la generalización de la norma Kummer teoría. Es decir, supongamos (por conveniencia) que $X/k$ es una variedad proyectiva y que $m$ es invertible en a $k$. Entonces, uno tiene la siguiente Kummer secuencia de (étale) poleas en $X$:

$$1\to\mu_m\to\mathbf{G}_m\xrightarrow{[m]}\mathbf{G}_m\to 1$$

Pasando a la larga secuencia exacta en la (étale) cohomology le da a uno la siguiente secuencia exacta corta

$$1\to \mathcal{O}_X(X)^\times/(\mathcal{O}_X(X)^\times)^m\to H^1_{é \text{t}}(X,\mu_m)\to \text{Pic}(X)[m]\to 1$$

En particular, si suponemos, por ejemplo, que el$k=\overline{k}$, $X$ es integral, entonces

1. $\mu_m=\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ , por lo que $$H^1_{é\text{t}}(X,\mu_m)=H^1_{é\text{t}}(X,\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})=\text{Hom}_{\text{cont.}}(\pi_1^{é\text{t}}(X),\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})$$
2. $\mathcal{O}_X(X)^\times/(\mathcal{O}_X(X)^\times)^m=0$

Así, vemos que tenemos un isomorfismo

$$\text{Hom}_\text{cont.}(\pi_1^{é\text{t}}(X),\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})\cong \text{Pic}(X)[m]$$

que muestra con precisión de qué manera la torsión de la línea de paquetes de recoger información acerca de la cobertura de la teoría de $X$.

Si uno quiere ser de hormigón, el isomorfismo descrito anteriormente envía un $m$-torsión de la línea de paquete de $\mathscr{L}$ a lo finito étale cubierta

$$\mathbf{Spec}(\mathcal{A}(\mathscr{L}))\to X$$

donde $\mathcal{A}(\mathscr{L}))$ es la gavilla de cuasi-coherentes $\mathcal{O}_X$-álgebras dada por

$$\mathcal{A}(\mathscr{L})=\bigoplus_{i=0}^{m-1}\mathscr{L}^{-i}$$

(Espero no cometer un error en poner doble!) con la multiplicación que baraja las secciones de la cadena y, a continuación, los ciclos a través de la elección de un isomorfismo

$$i:\mathscr{L}^{\otimes m}\xrightarrow{\approx}\mathcal{O}_X$$

Esto también muestra donde, realmente, las unidades del modulo sus $n^\text{th}$-poderes son los que entran en juego desde este isomorfismo es no-canónico, y así depende de elección en este grupo cociente.

Sabor nota: El anterior es en realidad una clasificación de $\mu_m$-torsors como pares de $(\mathscr{L},i)$ $m$- torsión de la línea de paquete y un isomorfismo $i:\mathscr{L}^{\otimes m}\xrightarrow{\approx}\mathcal{O}_X$.