Repartir los puntos

Question

Dado un número par de puntos en posiciones generales en el plano (es decir, no hay tres puntos co-lineales), ¿puedes dividir los puntos en pares y conectar los dos puntos de cada par con una sola línea recta tal que las líneas rectas no se superpongan?

Answer 1

Supongamos que el resultado es cierto para $2n$ puntos. Demostramos que es cierto para $2(n+1)$ puntos.

Dejemos que $S$ sea un conjunto de $2(n+1)$ puntos. Dibuja una línea recta $\ell$ tal que todos los puntos de $S$ están en un lado de la línea, y ninguno está en la línea.

Mover la línea $\ell$ paralelo a sí mismo, lentamente hacia $S$ . Después de un tiempo, sólo se encuentra $S$ , digamos que en el punto $P$ . Si además cumple con $S$ en otro punto $Q$ se alegre. Si no, gire la línea lentamente sobre $P$ hasta que se encuentre por primera vez $S$ en otro punto $Q$ .

Únase a $PQ$ por un segmento de línea. Por la hipótesis de inducción, el resto de los puntos de $S$ se pueden dividir en pares, y los pares se unen mediante segmentos de línea que no se interceptan. Mediante la elección de $P$ y $Q$ Estos segmentos de línea no se encuentran $PQ$ .

Observación: En menos palabras, el casco convexo de $S$ es un polígono. Podemos dejar que $P$ y $Q$ sean dos vértices consecutivos cualesquiera del polígono.

Answer 2

Sí, hay un número finito de maneras de dividir los puntos en pares. Elige una partición que minimice la suma de los cuadrados de las longitudes de los segmentos de línea resultantes. Si dos de los segmentos se cruzan, está claro que el ley del paralelogramo que la suma podría ser menor. ("Posición general" es irrelevante para esto; todo lo que necesitas es un número par de puntos distintos en el plano).