¿Probabilidades condicionales son funciones medibles - cuando son continuos?

Question

Deje $\Omega$ ser un espacio de Banach; por el bien de este post, vamos a tomar las $\Omega = {\mathbb R}^2$, pero estoy más interesado en el infinito ajuste dimensional. Tome $\mathcal F$ a ser el Borel $\sigma$-álgebra, y deje $\mathbb P$ ser una medida de probabilidad en $(\Omega, \mathcal F)$.

Denotar por $\vec x = (x,y)$ a un punto en $\Omega$, y deje $\mathcal F_1$ $\sigma$- álgebra generada por la primera coordenada. Fix $y_0 \in \mathbb R$ y $\eta > 0$, y considerar la posibilidad de $$f(\vec x) = \mathbb P( ~|y - y_0| \le \eta~ |\mathcal F_1).$$ (More generally, one can consider $f(\vec x) = \mathbb E( \varphi(\vec x) | \mathcal F_1)$ for some suitable $\varphi : {\mathbb R}^2 \to \mathbb R$.)

La función de $f$ es mensurable; la que proviene de la definición de condicional expectativas. Me gustaría encontrar algunos razonable suficientes condiciones tales que $f$ es continua y positiva.

Me siento como este debe ser relativamente primaria material, pero lamentablemente estoy teniendo problemas para encontrar todas las referencias. ¿Cómo debo acerca de esto?

_{He incluido el [fa.funcional-análisis] etiqueta porque, en general, que desee considerar la $\Omega$ a ser un espacio de las funciones lisas. Supongo que para dar alguna estructura adicional, tendré que asumir que $\mathbb P$ es absolutamente continua con respecto a una Gaussiana medida, porque yo no conozco a ningún otro tipo de medidas razonables, en función del espacio.}

Answer 1

Incluso si su probabilidad de medida es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue en $\Omega={\mathbb R}^2$, no creo que esto es suficiente para la función de $f$ definido continuo (solo tome $X$ ser independiente de la $Y$, es decir, su probabilidad de medida es sólo el producto de dos medidas de probabilidad, "uno en cada eje", y elige uno para $X$ a ser algo en la $L^1({\mathbb R}, {\mathcal B}, dx)$ que es discontinua.

Por otro lado, si ${\mathbb P}$ no es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue en $\Omega$, pero tiene un continuo de la función de densidad de wrt dicha medida, entonces su función de $f$ será continua -- sólo por la integración de más de una bola de radio $\eta$ de centro $\eta$ sólo puede suavizar las cosas, por lo que la continuidad de la original función de densidad se dirige a la continuidad de la probabilidad condicional. [Esto es bastante sencillo de observación utilizando propiedades básicas de la costumbre de integración en el plano.]

Así que en tu ejemplo, la estructura de Gauss no es realmente relevante como lo que yo puedo ver. También, si el original de la función de densidad es estrictamente positiva en el cilindro $\{(x,y) : |y-y_0|<\eta \}$, entonces la probabilidad condicional de que el usuario haya definido también será estrictamente positivo; esta condición es, evidentemente, no es necesario, pero sospecho que en los ejemplos que usted está interesado en algo como lo que deben tener.

Entre estos dos extremos, no estoy seguro de qué más se puede decir. Tal vez, desde su punto de vista, es más importante que ir hasta el infinito-dimensional $\Omega$, pero en lugar de las restricciones sobre el tipo de medida de probabilidad que se desea considerar.

Answer 2

Hola,

Aquí es una idea, yo realmente no sé si hay algo para hacer con ella, pero este es el mejor que puedo pensar (si he entendido correctamente tu pregunta).

Si usted se considera Homogénea Feller procesos de Markov (más de algún Espacio de Banach si te gusta), entonces usted puede expresar la semi-grupo de transición con respecto al último valor conocido del proceso. Y por otra parte el Talador de propiedad limita el semi-grupo (o probabilidades condicionales) sea continua en este último valor conocido, si recuerdo bien. Desde allí, usted podría ser capaz de encontrar algunas condiciones en el mismo espíritu a la propiedad de Markov y Feller condiciones para ser extendido sobre otro Índice que tiempo.

Así que el truco es "convertir" (si es posible en su caso) el acondicionamiento de sigma campo en un sigma campo gereatad por una variable aleatoria, entonces expresar esta conditionnal probabilidad (o semigroup de transición) como una función de el valor de esta variable, y de imponer cierta continuidad en la condición para obtener su propiedad (esto parece "ad hoc").

En cualquier caso, esto es sólo dar algunos sufficients condiciones para la genrality podría ser cuestionable.

Espero que esto ayude

Saludos

Answer 3

Tue Tjur estudiado la existencia de continuo desintegraciones en una 1975 preprint "Una Definición Constructiva de Distribuciones Condicionales", Número 13, de Copenhague Universitet. Él da condiciones necesarias y suficientes para su existencia. También, se analizan estructura suficiente, y no la cuestión de la existencia de conjuntos densidades surge. El artículo es un poco difícil de localizar, así, hágamelo saber si usted necesita ayuda para encontrar. La existencia continua de desintegraciones surge también en el estudio de la computabilidad de la probabilidad condicional, que es de mi interés.

Answer 4

Puesto que un troll golpea esta pregunta a la Página principal, así podría responder. La tecnología que proporciona la solución se llama probabilidad condicional regular o desintegración.

Answer 5

He aquí una respuesta en el caso de que $X$ $Y$ son Gaussianas. Hay una rígida estructura algebraica de ahí que no sé si estoy explotando, o más general de la propiedad de la distribución. Creo que esta respuesta también se generaliza para el caso de Gauss medidas en función del espacio, pero no estoy seguro de si es lo suficientemente respuesta general.

Deje $X \sim N(0, \sigma_X)$ $Z \sim N(0,1)$ ser independiente Gaussianas. Vamos $$Y = \frac{\rho\sigma_Y}{\sigma_X} X + \sqrt{1-\rho^2} \sigma_Y Z,$$ so that $Y \sim N(0,\sigma_Y)$. Clearly, $$\mathbb E(Y|X) = \frac{\rho\sigma_Y}{\sigma_X} X \qquad \mathrm{and} \qquad \mathbb E(Y^2|X) - \frac{\rho^2\sigma_Y^2}{\sigma_X^2} X^2 = (1-\rho^2)\sigma_Y^2.$$

Acondicionado en $X$, $Y$ de nuevo tiene una distribución de Gauss---esta es una propiedad especial de Gaussianas. Así $$f(x,y) = \mathbb P( ~|Y - y_0| \le \eta ~| X) = \frac{1}{\sqrt{2\pi(1-\rho^2)} \sigma_Y} \int_{y_0 - \eta}^{y_0 + \eta} \exp \left(-|u-\tfrac{\rho \sigma_Y}{\sigma_X} x|^2 / 2(1-\rho^2)\sigma_Y^2 \right) ~du.$$This does not depend on $y$, as I explained in my comment to Yemon above. Moreover, this is clearly a continuous function on ${\mathbb R}^2$, and $f(x,y) > 0$.