Recientemente me encontré con una descripción de la convergencia uniforme, que afirmaba: "La diferencia entre pointwise la convergencia y la convergencia uniforme es que con pointwise convergencia, la convergencia de las $f_n$ $f$puede variar en velocidad en cada punto de $f$. Con la convergencia uniforme, la velocidad de convergencia es aproximadamente el mismo en todo el dominio."
Es esto necesariamente cierto? Tomado estrictamente, todos convergencia uniforme que dice es que, dado un $\epsilon$, puedo encontrar una $N(\epsilon)$ tal que $\forall n > N$, $|f_n(x) - f(x)|<\epsilon$ para todos los $x$ sobre el dominio. Es decir, si salgo lo suficientemente lejos en la secuencia, la función va a estar dentro de un $\epsilon$-tubo de centrado alrededor de $f$.
Esto no parece decir nada acerca de la velocidad de convergencia en diferentes puntos: puedo concebir la secuencia de funciones de convergencia muy rápida en algunos puntos, mientras que "a la zaga" a los demás (pero, no obstante, eventualmente llegar allí), por lo que los laggers requieren solo me tome un mayor $N$ para un determinado $\epsilon$. Más precisamente, mientras que puede ser capaz de encontrar diferentes $N$'s para diferentes $x$, puedo simplemente tomar el más grande de estos como mi $N(\epsilon)$ (suponiendo que exista). Estoy específicamente pensando en contraste con situaciones como $f_n(x) = x^n, x \in [0,1]$, donde nos han "atrapado punto" a $x = 1$ que los tornillos de todo; o, asimismo, en una serie de Fourier con el fenómeno de Gibbs presente, donde el sobreimpulso nunca decae, sólo se mueve hacia fuera, hacia los extremos. (En ambos de estos casos, no es más grande $N$ tomar como mi $N(\epsilon)$ independiente de $x$, y lo mejor que podemos hacer es pointwise convergencia.)
Por lo tanto, estoy tratando de construir ejemplos donde hemos convergencia uniforme, pero la velocidad de convergencia todavía depende de x. Mi primer pensamiento fue:$f_n(x) = \frac{\sin^n(\pi x)}{n}$. Desde $|\sin(x)| \leq 1$ , esto claramente converge uniformemente a $f(x) = 0$ (acaba de dejar $N$ = $1/\epsilon$) -- pero más cerca de la $x$ es un número entero, el más rápido de la convergencia, con $x = \frac{k\pi}{2}, k$ extraño, teniendo más tiempo para converger y, de hecho, la prevención de cualquier menor N de trabajo.
Es esto correcto? ¿Este ejemplo de trabajo? Hay otros, los más interesantes?
Lo que es más: ¿hay alguna condición adicional puedo añadir que se garantiza la misma velocidad de convergencia en todas partes?
